A central limit theorem for descents of a Mallows permutation and its inverse

Abstract

This paper studies the asymptotic distribution of descents $des(\mathit{w})$ in a permutation w, and its inverse, distributed according to the Mallows measure. The Mallows measure is a non-uniform probability measure on permutations introduced to study ranked data. Under this measure, permutations are weighted according to the number of inversions they contain, with the weighting controlled by a parameter q. The main results are a Berry–Esseen theorem for $des(\mathit{w})+des({\mathit{w}}^{-1})$ as well as a joint central limit theorem for $(des(\mathit{w}),des({\mathit{w}}^{-1}))$ to a bivariate normal with a non-trivial correlation depending on q. The proof uses Stein’s method with size-bias coupling along with a regenerative process associated to the Mallows measure.

Cet article étudie la distribution asymptotique des descentes $des(\mathit{w})$ dans une permutation w, et son inverse, distribuée suivant la mesure de Mallows. La mesure de Mallows est une probabilité non-uniforme sur les permutations introduite pour étudier les données ordonnées. Sous cette mesure, les permutations sont pondérées suivant le nombre d’inversions qu’elles contiennent, avec des poids contrôlés par un paramètre q. Les résultats principaux consistent en un théorème de Berry–Esseen pour $des(\mathit{w})+des({\mathit{w}}^{-1})$ ainsi qu’un théorème central limite joint pour $(des(\mathit{w}),des({\mathit{w}}^{-1}))$ ayant comme limite une loi normale bi-variée avec une corrélation non-triviale dépendant de q. La preuve utilise la méthode de Stein avec des couplages biaisés par la taille, et un processus de renouvellement associé à la mesure de Mallows.