Topological expansion in isomorphism theorems between matrix-valued fields and random walks

Abstract

We consider Gaussian fields of real symmetric, complex Hermitian or quaternionic Hermitian matrices over an electrical network, and describe how the isomorphisms between these fields and random walks give rise to topological expansions encoded by ribbon graphs. We further consider matrix-valued Gaussian fields twisted by an orthogonal, unitary or symplectic connection. In this case the isomorphisms involve traces of holonomies of the connection along random walk loops parametrized by boundary cycles of ribbon graphs.

On considère des champs gaussiens de matrices symétriques réelles, hermitiennes complexes ou hermitiennes quaternioniques au dessus un réseau électrique, et on décrit comment l’isomorphisme entre ces champs et les marches aléatoires fait apparaître des développements topologiques représentées par des graphes à rubans. De plus, on considère des champs gaussiens matriciels tordus par une connexion orthogonale, unitaire ou symplectique. Dans ce cas les isomorphismes font intervenir des traces d’holonomies de la connexion le long des boucles de marche aléatoire paramétrées par les cycles de bord des graphes à rubans.