Path dependent Feynman–Kac formula for forward backward stochastic Volterra integral equations

Abstract

This paper is concerned with the relationship between forward–backward stochastic Volterra integral equations (FBSVIEs, for short) and a system of (nonlocal in time) path dependent partial differential equations (PPDEs, for short). Due to the nature of Volterra type equations, the usual flow property (or semigroup property) does not hold. Inspired by Viens–Zhang (Ann. Appl. Probab. 29 (2019) 3489–3540) and Wang–Yong (Stochastic Process. Appl. 129 (2019) 4926–4964), auxiliary processes are introduced so that the flow property of adapted solutions to the FBSVIEs is recovered in a suitable sense, and thus the functional Itô formula is applicable. Having achieved this stage, a natural PPDE is found so that the adapted solution of the backward SVIEs admits a representation in terms of the solution to the forward SVIE via the solution to a PPDE. On the other hand, the solution of the PPDE admits a representation in terms of adapted solution to the (path dependent) FBSVIE, which is referred to as a Feynman–Kac formula. This leads to the existence and uniqueness of a classical solution to the PPDE, under smoothness conditions on the coefficients of the FBSVIEs. Further, when the smoothness conditions are relaxed with the backward component of FBSVIE being one-dimensional, a new (and suitable) notion of viscosity solution is introduced for the PPDE, for which a comparison principle of the viscosity solutions is established, leading to the uniqueness of the viscosity solution. Finally, some results have been extended to coupled FBSVIEs and type-II BSVIEs, and a representation formula for the path derivatives of PPDE solution is obtained by a closer investigation of linear FBSVIEs.

Cet article étudie les relations entre les équations intégrales de Volterra forward-backward stochastiques (FBSVIE) et un système d’équations aux dérivées partielles, non locales en temps, dépendant des trajectoires (PPDE). En raison de la nature des équations du type Volterra, la propriété habituelle de flot, ou de semigroupe, n’est pas vérifiée. Inspirés par les travaux de Viens–Zhang (Ann. Appl. Probab. 29 (2019) 3489–3540) et Wang–Yong (Stochastic Process. Appl. 129 (2019) 4926–4964), nous introduisons des processus auxiliaires de sorte que la propriété de flot de solutions adaptées aux FBSVIE soit retrouvée dans un sens approprié, et que la formule d’Itô fonctionnelle soit applicable. Puis, nous exhibons une PPDE naturelle telle que la solution adaptée de la SVIE backward admet une représentation en termes de la solution de la SVIE forward via la solution de cette PPDE. Par ailleurs, la solution de la PPDE admet une représentation en termes de la solution à la FBSVIE (dépendant de la trajectoire), ce que nous interprétons comme une formule de Feynman–Kac. Ceci conduit à l’existence et l’unicité d’une solution classique de la PPDE, sous des conditions de régularité pour les coefficients de la FBSVIE. De plus, sous l’hypothèse que la composante backward de la FBSVIE est de dimension 1, on peut affaiblir ces conditions de régularité en introduisant une nouvelle notion de solution de viscosité pour la PPDE, et établir un principe de comparaison de ces solutions qui implique leur unicité. Enfin, certains résultats ont été étendus aux FBSVIE couplées et aux BSVIE de type II, et une formule de représentation des dérivées des trajectoires des solutions de la PPDE est obtenue par une étude plus approfondie des FBSVIE linéaires.