An upper bound on the two-arms exponent for critical percolation on Zd

Abstract

Consider critical site percolation on ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ with $\mathit{d}\ge 2$. Cerf (Ann. Probab. 43 (2015) 2458–2480) pointed out that from classical work by Aizenman, Kesten and Newman (Comm. Math. Phys. 111 (1987) 505–532) and Gandolfi, Grimmett and Russo (Comm. Math. Phys. 114 (1988) 549–552) one can obtain that the two-arms exponent is at least $1/2$. The paper by Cerf slightly improves that lower bound.

Except for $\mathit{d}=2$ and for high d, no upper bound for this exponent seems to be known in the literature so far (not even implicitly). We show that the distance-n two-arms probability is at least $\mathit{c}{\mathit{n}}^{-({\mathit{d}}^2+4\mathit{d}-2)}$ (with $\mathit{c}>0$ a constant which depends on d), thus giving an upper bound ${\mathit{d}}^2+4\mathit{d}-2$ for the above mentioned exponent.

Nous considérons la percolation critique par sites dans ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ pour $\mathit{d}\ge 2$. Cerf (Ann. Probab. 43 (2015) 2458–2480) a montré, en s’appuyant sur des travaux classiques dûs à Aizenman, Kesten et Newman (Comm. Math. Phys. 111 (1987) 505–532) et Gandolfi, Grimmett and Russo (Comm. Math. Phys. 114 (1988) 549–552), que l’exposant critique à deux-bras est au moins égal à $1/2$. L’article de Cerf améliore cette borne inférieure.

Sauf dans le cas $\mathit{d}=2$ ou en grande dimension, il ne semble pas que la litérature contienne une borne supérieure pour cette exposant (même pas de manière implicite). Nous prouvons que la probabilité de “deux bras à distance n” est au moins $\mathit{c}{\mathit{n}}^{-({\mathit{d}}^2+4\mathit{d}-2)}$ (où $\mathit{c}>0$ est une constante qui peut dépendre de la dimension d). Ainsi, l’exposant mentionné est inférieur ou égal à ${\mathit{d}}^2+4\mathit{d}-2$.