Abstract
We establish via a probabilistic approach the quenched invariance principle for a class of long range random walks in independent (but not necessarily identically distributed) balanced random environments, with the transition probability from x to y on average being comparable to with . We use the martingale property to estimate exit time from balls and establish tightness of the scaled processes, and apply the uniqueness of the martingale problem to identify the limiting process. When , our approach works even for non-balanced cases. When , under a diffusive with the logarithmic perturbation scaling, we show that the limit of scaled processes is a Brownian motion.
Nous établissons par une approche probabiliste le principe d’invariance à environnement gelé pour une classe de marches aléatoires à longue distance dans des environnements aléatoires équilibrés indépendants (mais pas nécessairement distribués de manière identique), la probabilité de transition de x à y en moyenne étant comparable à avec . Nous utilisons la propriété martingale pour estimer le temps de sortie des balles et établir l’étanchéité des processus renormalisés, et appliquer l’unicité du problème de la martingale pour identifier le processus limite. Lorsque , notre approche fonctionne même pour les cas non équilibrés. Lorsque , sous un diffusif à l’échelle de perturbation logarithmique, nous montrons que la limite des processus renormalisés est un mouvement brownien.
Funding Statement
The research of Xin Chen is supported by the National Natural Science Foundation of China (Nos. 11501361 and 11871338). The research of Zhen-Qing Chen is partially supported by Simons Foundation Grant 520542 and a Victor Klee Faculty Fellowship at UW. The research of Takashi Kumagai is supported by JSPS KAKENHI Grant Number JP17H01093 and by the Alexander von Humboldt Foundation. The research of Jian Wang is supported by the National Natural Science Foundation of China (Nos. 11831014 and 12071076), the Program for Probability and Statistics: Theory and Application (No. IRTL1704) and the Program for Innovative Research Team in Science and Technology in Fujian Province University (IRTSTFJ).
Acknowledgements
We thank the anonymous referee for valuable comments.
Citation
Xin Chen. Zhen-Qing Chen. Takashi Kumagai. Jian Wang. "Quenched invariance principle for long range random walks in balanced random environments." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57 (4) 2243 - 2267, November 2021. https://doi.org/10.1214/21-AIHP1150
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