Abstract
We consider one-dimensional infinite chains of harmonic oscillators with stochastic perturbations and long-range interactions which have polynomial decay rate , , , where is the interaction range. We prove that if , then the time evolution of the macroscopic thermal energy distribution is superdiffusive and governed by a fractional diffusion equation with exponent , while if , then the exponent is . The threshold is because the derivative of the dispersion relation diverges as when .
Nous considérons une chaîne infinie unidimensionnelle d’oscillateurs harmoniques avec des perturbations stochastiques et une interaction à longue portée avec une décroissance polynomiale d’ordre , , , où x est la longueur d’interaction. Nous montrons que si , l’évolution en temps de la distribution d’énergie thermique macroscopique est sur diffusive et régie par une équation de diffusion fractionnaire avec exposant , alors que si , l’exposant est . Le seuil est car la dérivée de la relation de dispersion diverge lorsque quand .
Acknowledgements
We are grateful to Keiji Saito for insightful discussions. HS was supported by JSPS KAKENHI Grant Number JP19J11268 and the Program for Leading Graduate Schools, MEXT, Japan.
Citation
Hayate Suda. "A family of fractional diffusion equations derived from stochastic harmonic chains with long-range interactions." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57 (4) 2268 - 2314, November 2021. https://doi.org/10.1214/20-AIHP1133
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