A family of fractional diffusion equations derived from stochastic harmonic chains with long-range interactions

Abstract

We consider one-dimensional infinite chains of harmonic oscillators with stochastic perturbations and long-range interactions which have polynomial decay rate $|\mathit{x}{|}^{-\mathit{\theta }}$, $\mathit{x}\to \infty$, $\mathit{\theta }>1$, where $\mathit{x}\in \mathbb{Z}$ is the interaction range. We prove that if $2<\mathit{\theta }\le 3$, then the time evolution of the macroscopic thermal energy distribution is superdiffusive and governed by a fractional diffusion equation with exponent $\frac{3}{7-\mathit{\theta }}$, while if $\mathit{\theta }>3$, then the exponent is $\frac{3}{4}$. The threshold is $\mathit{\theta }=3$ because the derivative of the dispersion relation diverges as $\mathit{k}\to 0$ when $\mathit{\theta }\le 3$.

Nous considérons une chaîne infinie unidimensionnelle d’oscillateurs harmoniques avec des perturbations stochastiques et une interaction à longue portée avec une décroissance polynomiale d’ordre $|\mathit{x}{|}^{-\mathit{\theta }}$, $\mathit{x}\to \infty$, $\mathit{\theta }>1$, où x est la longueur d’interaction. Nous montrons que si $2<\mathit{\theta }\le 3$, l’évolution en temps de la distribution d’énergie thermique macroscopique est sur diffusive et régie par une équation de diffusion fractionnaire avec exposant $\frac{3}{7-\mathit{\theta }}$, alors que si $\mathit{\theta }>3$, l’exposant est $\frac{3}{4}$. Le seuil est $\mathit{\theta }=3$ car la dérivée de la relation de dispersion diverge lorsque $\mathit{k}\to 0$ quand $\mathit{\theta }\le 3$.