Once reinforced random walk on Z×Γ

Abstract

We revisit Vervoort’s unpublished paper (Vervoort (2002)) on the once reinforced random walk, and prove that this process is recurrent on any graph of the form $\mathbb{Z}\times \mathrm{\Gamma }$, with Γ a finite graph, for sufficiently large reinforcement parameter. We also obtain a shape theorem for the set of visited sites, and show that the fluctuations around this shape are of polynomial order. The proof involves sharp general estimates on the time spent on subgraphs of the ambiant graph which might be of independent interest.

Nous revisitons un article de Vervoort (Vervoort (2002)), jamais publié, sur la marche une-fois-renforcée, ou once reinforced random walk, et nous prouvons que ce processus est récurrent sur tout graphe de la forme $\mathbb{Z}\times \mathrm{\Gamma }$, où Γ est un graphe fini, et pour un paramètre de renforcement suffisamment grand. Nous obtenons également un théorème de forme pour l’ensemble des sites visités, et prouvons que les fluctuations sont d’ordre polynomial. La preuve utilise des estimées précises et générales sur le temps passé dans des sous-graphes du graphe ambiant, ce qui pourrait être intéressant par soi-même.