Self-avoiding walk on $\mathbb{Z}^{2}$ with Yang–Baxter weights: Universality of critical fugacity and 2-point function

Abstract

We consider a self-avoiding walk model (SAW) on the faces of the square lattice $\mathbb{Z}^{2}$. This walk can traverse the same face twice, but crosses any edge at most once. The weight of a walk is a product of local weights: each square visited by the walk yields a weight that depends on the way the walk passes through it. The local weights are parametrised by angles $\theta \in [\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$ and satisfy the Yang–Baxter equation. The self-avoiding walk is embedded in the plane by replacing the square faces of the grid with rhombi with corresponding angles.

By means of the Yang–Baxter transformation, we show that the 2-point function of the walk in the half-plane does not depend on the rhombic tiling (i.e. on the angles chosen). In particular, this statistic concides with that of the self-avoiding walk on the hexagonal lattice. Indeed, the latter can be obtained by choosing all angles $\theta $ equal to $\frac{\pi }{3}$.

For the hexagonal lattice, the critical fugacity of SAW was recently proved to be equal to $1+\sqrt{2}$. We show that the same is true for any choice of angles. In doing so, we also give a new short proof to the fact that the partition function of self-avoiding bridges in a strip of the hexagonal lattice tends to $0$ as the width of the strip tends to infinity. This proof also yields a quantitative bound on the convergence.

On considère un modèle de marches auto-évitantes sur les faces du réseau carré $\mathbb{Z}^{2}$. Ce type de marche peut traverser la même face deux fois, mais traverse chaque arrête au plus une fois. Le poids d’une telle marche est le produit de poids locaux : chaque face visitée contribue par un poids qui dépend de la façon dont la marche la traverse. Les poids locaux associés à chaque face sont paramétrés par des angles $\theta \in [\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$ et satisfont l’équation de Yang–Baxter. La marche est plongée dans le plan en remplaçant les faces carrées du réseau par des losanges d’angles correspondant à leur poids.

À l’aide de la transformation de Yang–Baxter, on montre que la fonction à deux points de la marche dans le demi-plan ne dépend pas des angles des losanges. En particulier, cette statistique coïncide avec celle de la marche aléatoire sur le réseau hexagonal – celle-ci est obtenue en choisissant tous les angles $\theta $ égaux à $\frac{\pi }{3}$.

La fugacité critique des marches auto-évitantes sur le réseau hexagonal a été calculée récemment : elle vaut $1+\sqrt{2}$. Nous montrons que la même chose est valable pour tout choix d’angles. A cette occasion, on donne une nouvelle preuve du fait que la fonction de partition des ponts auto-évitants dans une bande du réseau hexagonal tend vers $0$ quand la largeur de la bande tend vers l’infini. De plus, on montre une borne quantitative sur le taux de convergence.