Abstract
We consider a Galton–Watson tree with offspring distribution $\nu $ of finite mean. The uniform measure on the boundary of the tree is obtained by putting mass $1$ on each vertex of the $n$-th generation and taking the limit $n\to \infty $. In the case $E[\nu \log (\nu )]<\infty $, this measure has been well studied, and it is known that the Hausdorff dimension of the measure is equal to $\log (m)$ (J. Lond. Math. Soc. (2) 24 (1981) 373–384; Ergodic Theory Dynam. Systems 15 (1995) 593–619). When $E[\nu \log (\nu )]=\infty $, we show that the dimension drops to $0$. This answers a question of Lyons, Pemantle and Peres (In Classical and Modern Branching Processes. Proceedings of the IMA Workshop (1997) 223–237 Springer).
Nous considérons un arbre de Galton–Watson dont le nombre d’enfants $\nu $ a une moyenne finie. La mesure uniforme sur la frontière de l’arbre s’obtient en chargeant chaque sommet de la $n$-ième génération avec une masse $1$, puis en prenant la limite $n\to \infty $. Dans le cas $E[\nu \log (\nu )]<\infty $, cette mesure est bien étudiée, et l’on sait que la dimension de Hausdorff de la mesure est égale à $\log (m)$ (J. Lond. Math. Soc. (2) 24 (1981) 373–384; Ergodic Theory Dynam. Systems 15 (1995) 593–619). Lorsque $E[\nu \log (\nu )]=\infty $, nous montrons que la dimension est $0$. Cela répond à une question posée par Lyons, Pemantle et Peres (In Classical and Modern Branching Processes. Proceedings of the IMA Workshop (1997) 223–237 Springer).
Citation
Elie Aïdékon. "Hausdorff dimension of the uniform measure of Galton–Watson trees without the XlogX condition." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 56 (4) 2301 - 2306, November 2020. https://doi.org/10.1214/19-AIHP1031
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