Obliquely reflected backward stochastic differential equations

Abstract

In this paper, we study existence and uniqueness to multidimensional Reflected Backward Stochastic Differential Equations in a non-empty open convex domain, allowing for oblique directions of reflection. In a Markovian framework, combining a priori estimates for penalised equations and compactness arguments, we obtain existence results under quite weak assumptions on the driver of the BSDEs and the direction of reflection, which is allowed to depend on both $Y$ and $Z$. In a non Markovian framework, we obtain existence and uniqueness result for direction of reflection depending on time and $Y$ in smooth convex domain. We make use in this case of stability estimates that require some regularity conditions on the direction of reflection only.

Nous étudions dans cet article l’existence et l’unicité des solutions d’équations différentielles stochastiques rétrogrades multidimensionnelles réfléchies dans un domaine ouvert convexe non vide avec une possible obliquité de la direction de réflexion. Dans le cadre markovien, en utilisant des estimées a priori pour les équations pénalisées et des arguments de compacité, nous obtenons un résultat d’existence sous des hypothèses faibles sur le générateur de l’EDSR et la direction de réflexion qui peut dépendre de $Y$ et $Z$. Dans un cadre non markovien, nous obtenons un résultat d’existence et d’unicité lorsque la direction de réflexion dépend uniquement du temps et de $Y$ et que le domaine de réflexion est régulier. Pour ce faire, nous utilisons des estimées de stabilité qui nécessitent des conditions de régularité portant uniquement sur la direction de réflexion.