Eigenvectors distribution and quantum unique ergodicity for deformed Wigner matrices

Abstract

We analyze the distribution of eigenvectors for mesoscopic, mean-field perturbations of diagonal matrices, in the bulk of the spectrum. Our results apply to a generalized $N\times N$ Rosenzweig–Porter model. We prove that the eigenvector entries are asymptotically Gaussian with a specific variance. For a well spread initial spectrum, this variance profile universally follows a heavy-tailed Cauchy distribution. In the case of smooth entries, we also obtain a strong form of quantum unique ergodicity in the form of a strong concentration inequality for the mass of eigenvectors on a given set of coordinates. The proof relies on a priori local laws for this model as given in (Ann. Probab. 44 (2016) 2349–2425; Comm. Math. Phys. 355 (2017) 949–1000; Comm. Math. Phys. 350 (2017) 231–278), and the eigenvector moment flow from (Comm. Math. Phys. 350 (2017) 231–278; Bourgade et al. 2018).

Nous analysons la distribution des vecteurs propres de perturbations mésoscopiques de matrices diagonales à l’intérieur du spectre. Nos résultats s’appliquent a un modèle généralisé de Rosenzweig–Porter. Nous prouvons que les entrées des vecteurs propres sont asymptotiquement gaussiennes avec une variance explicite. Lorsque le spectre initial est bien étalé, ce profil de variance suit de manière universelle une distribution de Cauchy à queue lourde. Lorsque les entrées sont lisses, nous obtenons aussi une forme forte d’unique ergodicité quantique sous la forme d’une inégalité de concentration sur la masse des vecteurs propres sur un domaine fixé de coordonnées. La preuve se base sur des lois locales a priori données dans (Ann. Probab. 44 (2016) 2349–2425; Comm. Math. Phys. 355 (2017) 949–1000; Comm. Math. Phys. 350 (2017) 231–278) et le flot des moments des vecteurs propres de (Comm. Math. Phys. 350 (2017) 231–278; Bourgade et al. 2018).