Stable matchings in high dimensions via the Poisson-weighted infinite tree

Abstract

We consider the stable matching of two independent Poisson processes in $\mathbb{R}^{d}$ under an asymmetric color restriction. Blue points can only match to red points, while red points can match to points of either color. It is unknown whether there exists a choice of intensities of the red and blue processes under which all points are matched. We prove that for any fixed intensities, there are unmatched blue points in sufficiently high dimension. Indeed, if the ratio of red to blue intensities is $\rho $ then the intensity of unmatched blue points converges to $e^{-\rho }/(1+\rho )$ as $d\to \infty $. We also establish analogous results for certain multi-color variants. Our proof uses stable matching on the Poisson-weighted infinite tree (PWIT), which can be analyzed via differential equations. The PWIT has been used in many settings as a scaling limit for models involving complete graphs with independent edge weights, but as far as we are aware, this is the first presentation of a rigorous application to high-dimensional Euclidean space. Finally, we analyze the asymmetric matching problem under a hierarchical metric, and show that there are unmatched points for all intensities.

Nous considérons l’appariement stable de deux processus de Poisson indépendants dans $\mathbb{R}^{d}$, sous une contrainte asymmetrique sur les couleurs. Un point bleu ne peut être apparié qu’à un point rouge, tandis qu’un point rouge peut être apparié soit à un point rouge soit à un point bleu. On ne sait pas s’il existe un choix d’intensités des processus bleu et rouge tel que tous les points sont appariés. Nous démontrons que pour toutes intensités fixes, il y a des points bleus non-appariés en dimension suffisamment elevée. En effet, si le rapport de l’intensité des points rouges à l’intensité des points bleus est $\rho $, l’intensité des points bleus non-appariés tend vers $e^{-\rho }/(1+\rho )$ quand $d\to \infty $. On établit aussi des résultats analogues pour certaines variantes à multiples couleurs. La preuve utilise un modèle d’appariement stable sur l’arbre infini pondéré de Poisson (PWIT), qui peut être analysé par des équations différentielles. Le PWIT a été utilisé dans de nombreux contextes comme limite d’échelle pour des modèles impliquant des graphes complets pondérés de variables aléatoires indépendants, mais à notre connaissance, celle-ci est la première présentation d’une application rigoureuse à l’espace euclidien en haute dimension. Finalement, on analyse le problème d’appariement asymétrique sous une métrique hiérarchique, et on démontre qu’il existe des points non-appariés pour tout choix d’intensités.