Infinite rate symbiotic branching on the real line: The tired frogs model

Abstract

Consider a population of infinitesimally small frogs on the real line. Initially the frogs on the positive half-line are dormant while those on the negative half-line are awake and move according to the heat flow. At the interface, the incoming wake frogs try to wake up the dormant frogs and succeed with a probability proportional to their amount among the total amount of involved frogs at the specific site. Otherwise, the incoming frogs also fall asleep. This frog model is a special case of the infinite rate symbiotic branching process on the real line with different motion speeds for the two types. We construct this frog model as the limit of approximating processes and compute the structure of jumps. We show that our frog model can be described by a stochastic partial differential equation on the real line with a jump type noise.

Considérons une population de grenouilles infinitésimales sur la droite réelle. Au début, toutes les grenouilles à droite de l’origine sont endormies tandis que les grenouilles à gauche sont éveillées et bougent comme un flux de chaleur. A l’interface, les grenouilles éveillées qui arrivent essaient de réveiller les grenouilles dormantes. Elles le font avec succès avec une probabilité proportionnelle à leur proportion par rapport à la population totale de grenouilles à cet endroit. Si elles échouent, les grenouilles arrivantes s’endorment aussi. Ce modèle de grenouilles est un modèle spécifique de branchement symbiotique sur la droite réelle où les populations bougent avec des vitesses différentes. Nous construisons le modèle par une procédure d’approximation et nous calculons la structure du processus de sauts. Nous montrons que notre modèle des grenouilles peut être décrit par une équation différentielle partielle stochastique avec sauts.