Parabolic Anderson model with a fractional Gaussian noise that is rough in time

Abstract

This paper concerns the parabolic Anderson equation \begin{equation*}\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta u+u\frac{\partial^{d+1}W^{\mathbf{H}}}{\partial t\,\partial x_{1}\cdots \,\partial x_{d}} \end{equation*} generated by a $(d+1)$-dimensional fractional noise with the Hurst parameter $\mathbf{H}=(H_{0},H_{1},\ldots ,H_{d})$ with special interest in the setting that some of $H_{0},\ldots ,H_{d}$ are less than half. In the recent work (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55 (2019) 941–976), the case of the spatial roughness has been investigated. To put the last piece of the puzzle in place, this work investigates the case when $H_{0}<1/2$ with the concern on solvability, Feynman–Kac’s moment formula and intermittency of the system.

Cet article concerne l’équation d’Anderson parabolique \begin{equation*}\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta u+u\frac{\partial^{d+1}W^{\mathbf{H}}}{\partial t\,\partial x_{1}\cdots \,\partial x_{d}} \end{equation*} engendrée par un bruit fractionnaire de dimension $d+1$ avec un paramètre de Hurst $\mathbf{H}=(H_{0},H_{1},\ldots ,H_{d})$, en portant une attention particulière au cas où certains des paramètres $H_{0},\ldots ,H_{d}$ sont inférieurs à $1/2$. Le cas rugueux en espace avait fait l’objet du travail récent (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55 (2019) 941–976). Pour mettre en place la dernière pièce du puzzle, cet article examine le cas $H_{0}<1/2$ en se penchant sur les problèmes de résolution, de la formule des moments de Feynman–Kac et de l’intermittence du système.