A boundedness trichotomy for the stochastic heat equation

Abstract

We consider the stochastic heat equation with a multiplicative white noise forcing term under standard “intermitency conditions.” The main finding of this paper is that, under mild regularity hypotheses, the a.s.-boundedness of the solution $x\mapsto u(t,x)$ can be characterized generically by the decay rate, at $\pm\infty$, of the initial function $u_{0}$. More specifically, we prove that there are 3 generic boundedness regimes, depending on the numerical value of $\mathbf{\Lambda}:=\lim_{\vert x\vert \to\infty}\vert \log u_{0}(x)\vert /(\log\vert x\vert )^{2/3}$.

Nous nous intéressons à l’équation de la chaleur stochastique avec un bruit blanc multiplicatif sous des <<conditions d’intermittence>> standard. Le résultat principal de cet article est que, sous des hypothèses de régularité raisonnables, le caractère presque sûrement borné de la solution $x\mapsto u(t,x)$ est entièrement déterminé par la vitesse de décroissance en $\pm\infty$ de la condition initiale $u_{0}$. Plus précisément, nous démontrons qu’il existe trois régimes distincts selon la valeur de $\mathbf{\Lambda}:=\lim_{\vert x\vert \to\infty}\vert \log u_{0}(x)\vert/(\log\vert x\vert )^{2/3}$.