Non-intersecting Brownian bridges and the Laguerre Orthogonal Ensemble

Abstract

We show that the squared maximal height of the top path among $N$ non-intersecting Brownian bridges starting and ending at the origin is distributed as the top eigenvalue of a random matrix drawn from the Laguerre Orthogonal Ensemble. This result can be thought of as a pre-asymptotic version of K. Johansson’s result (Comm. Math. Phys. 242 (2003) 277–329) that the supremum of the $\operatorname{Airy}_{2}$ process minus a parabola has the Tracy–Widom GOE distribution, and as such it provides an explanation for how this distribution arises in models belonging to the KPZ universality class with flat initial data. The result can be recast in terms of the probability that the top curve of the stationary Dyson Brownian motion hits an hyperbolic cosine barrier. Our proof is based on a formula, derived in (Ann. Inst. Henri Poincaré B, Calc. Probab. Stat. 51 (2015) 28–58), for the probability that Dyson Brownian motion stays below a curve on a finite interval, which is given in terms of the Fredholm determinant of a certain “path-integral” kernel.

On montre que le carré de la hauteur maximale de la trajectoire supérieure parmi $N$ ponts browniens non- intersectants issus et terminés en 0 a la même loi que la plus grande valeur propre d’une matrice aléatoire tirée de l’Ensemble Orthogonal de Laguerre. Ce résultat peut être vu comme une version pré-asymptotique du résultat de K. Johansson (Comm. Math. Phys. 242 (2003) 277–329) qui établit que le supremum du processus d’$\operatorname{Airy}_{2}$ moins une parabole est distribué selon la loi de Tracy–Widom GOE, et fournit ainsi une explication sur la façon dont cette distribution apparaît dans des modèles appartenant à la classe d’universalité de KPZ avec donnée initiale plate. Le résultat peut être reformulé en termes de la probabilité que la plus haute courbe du mouvement brownien de Dyson stationnaire atteigne une barrière de cosinus hyperbolique. Notre preuve repose sur une formule, obtenue dans (Ann. Inst. Henri Poincaré B, Calc. Probab. Stat. 51 (2015) 28–58), pour la probabilité que le mouvement Brownien de Dyson reste sous une courbe dans un intervalle fini, qui est donnée en termes du déterminant de Fredholm d’un certain « noyau d’intégrale de chemins ».