Abstract
For $d\in\{1,2,3\}$, let $(B^{d}_{t};t\geq0)$ be a $d$-dimensional standard Brownian motion. We study the $d$-Brownian span set $\operatorname{Span}(d):=\{t-s;B^{d}_{s}=B^{d}_{t}\mbox{ for some }0\leq s\leq t\}$. We prove that almost surely the random set $\operatorname{Span}(d)$ is $\sigma$-compact and dense in $\mathbb{R}_{+}$. In addition, we show that $\operatorname{Span}(1)=\mathbb{R}_{+}$ almost surely; the Lebesgue measure of $\operatorname{Span}(2)$ is $0$ almost surely and its Hausdorff dimension is $1$ almost surely; and the Hausdorff dimension of $\operatorname{Span}(3)$ is $\frac{1}{2}$ almost surely. We also list a number of conjectures and open problems.
Pour $d\in\{1,2,3\}$, soit $(B_{t}^{d};t\geq0)$ un mouvement brownien standard $d$-dimensionnel. Nous étudions le $d$-ensemble de portée brownienne $\operatorname{Span}(d):=\{t-s;B^{d}_{s}=B^{d}_{t}\mbox{ pour certains }0\leq s\leq t\}$. Nous prouvons que presque sûrement l’ensemble aléatoire $\operatorname{Span}(d)$ est $\sigma$-compact et dense dans $\mathbb{R}_{+}$. De plus, nous montrons que $\operatorname{Span}(1)=\mathbb{R}_{+}$ presque sûrement ; la mesure de Lebesgue de $\operatorname{Span}(2)$ est $0$ presque sûrement et sa dimension de Hausdorff est $1$ presque sûrement ; et la dimension de Hausdorff de $\operatorname{Span}(3)$ est $\frac{1}{2}$ presque sûrement. Nous listons aussi un certain nombre de conjectures et problèmes ouverts.
Citation
Steven Evans. Jim Pitman. Wenpin Tang. "The spans in Brownian motion." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 53 (3) 1108 - 1135, August 2017. https://doi.org/10.1214/16-AIHP749
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