Invariance principle for symmetric diffusions in a degenerate and unbounded stationary and ergodic random medium

Abstract

We study a symmetric diffusion $X$ on $\mathbb{R}^{d}$ in divergence form in a stationary and ergodic environment, with measurable unbounded and degenerate coefficients $a^{\omega}$. The diffusion is formally associated with $L^{\omega}u=\nabla\cdot(a^{\omega}\nabla u)$, and we make sense of it through Dirichlet forms theory. We prove for $X$ a quenched invariance principle, under some moment conditions on the environment; the key tool is the sublinearity of the corrector obtained by Moser’s iteration scheme.

Nous étudions une diffusion symétrique $X$ sur $R^{d}$ en forme de divergence dans un environnement aléatoire stationnaire et ergodique, dont les coefficients $a^{\omega}$ sont mesurables et dégénérés. Cette diffusion qui est formellement engendrée par l’opérateur $L^{\omega}u=\nabla\cdot(a^{\omega}\nabla u)$, peut être définie à l’aide de la théorie des formes de Dirichlet. Nous démontrons pour $X$ un principe d’invariance presque sûr sous des conditions de moment de l’environnement; l’outil crucial est la sous-linéarité du correcteur obtenu à l’aide de l’itération introduite par J. Moser.