In the context of fusion coefficients we construct Markovian processes with values in a fixed level alcove associated to the root system of an affine Lie algebra. In this context we show that for a large class of simple random walks, the discretized characters of irreducible representations of a semi-simple complex Lie algebra appear naturally as the eigenfunctions of the Dirichlet problem on such an alcove. We establish a correspondence between the hypergroup of conjugacy classes of a compact Lie group and the fusion hypergroup. For the stochastic model appearing in the context of fusion coefficients, we prove finally a convergence in distribution towards the radial part of a Brownian motion on a compact Lie group.

Nous construisons, dans le contexte des coefficients de fusion, des processus markoviens à valeurs dans une alcôve associée au système de racines d’une algèbre de Lie affine. Dans ce contexte, nous montrons comment, pour une large classe de marches aléatoires simples, les caractères discrétisés des représentations irréductibles des algèbres de Lie semi-simples complexes apparaissent naturellement comme les fonctions propres d’un problème de Dirichlet sur une telle alcôve. On établit par ailleurs une correspondance entre l’hypergroupe des classes de conjugaison d’un groupe de Lie compact et l’hypergroupe de fusion. Nous montrons enfin, pour le modèle aléatoire apparaissant dans le contexte des coefficients de fusion, un résultat de convergence en loi vers la partie radiale d’un mouvement brownien sur un groupe de Lie compact.

We study a symmetric diffusion $X$ on $\mathbb{R}^{d}$ in divergence form in a stationary and ergodic environment, with measurable unbounded and degenerate coefficients $a^{\omega}$. The diffusion is formally associated with $L^{\omega}u=\nabla\cdot(a^{\omega}\nabla u)$, and we make sense of it through Dirichlet forms theory. We prove for $X$ a quenched invariance principle, under some moment conditions on the environment; the key tool is the sublinearity of the corrector obtained by Moser’s iteration scheme.

Nous étudions une diffusion symétrique $X$ sur $R^{d}$ en forme de divergence dans un environnement aléatoire stationnaire et ergodique, dont les coefficients $a^{\omega}$ sont mesurables et dégénérés. Cette diffusion qui est formellement engendrée par l’opérateur $L^{\omega}u=\nabla\cdot(a^{\omega}\nabla u)$, peut être définie à l’aide de la théorie des formes de Dirichlet. Nous démontrons pour $X$ un principe d’invariance presque sûr sous des conditions de moment de l’environnement; l’outil crucial est la sous-linéarité du correcteur obtenu à l’aide de l’itération introduite par J. Moser.

We consider a matrix-valued Gaussian sequence model, that is, we observe a sequence of high-dimensional $M\times N$ matrices of heterogeneous Gaussian random variables $x_{ij,k}$ for $i\in\{1,\ldots,M\}$, $j\in\{1,\ldots,N\}$, $M$ and $N$ tend to infinity and $k\in\mathbb{Z}$. For large $|k|$, the standard deviation of our observations is $\epsilon|k|^{s}$ for some $\epsilon>0,\epsilon\to0$ and a given $s\geq0$, case that encompasses mildly ill-posed inverse problems.

We give separation rates for the detection of a sparse submatrix of size $m\times n$ ($m$ and $n$ tend to infinity, $m/M$ and $n/N$ tend 0) with active components. A component $(i,j)$ is said active if the sequence $\{x_{ij,k}\}_{k}$ has mean $\{\theta_{ij,k}\}_{k}$ within a Sobolev ellipsoid of smoothness $\tau>0$ and total energy $\sum_{k}\theta^{2}_{ij,k}$ larger than some $r^{2}_{\epsilon}$. We construct a test procedure and compute rates that involve relationships between $m,n,M$, $N$ and $\epsilon$, such that the asymptotic total error probability tends to 0. We also show how these rates can be made adaptive to the size $(m,n)$ of the submatrix under some constraints.

We prove corresponding lower bounds under additional assumptions on the relative size of the submatrix in the large matrix of observations. Our separation rates are sharp under further assumptions. Lower bounds for hypothesis testing problems mean that no test procedure can distinguish between the null hypothesis (no signal) and the alternative, i.e. the minimax total error probability for testing tends to 1.

Nous considérons un modèle de suites de matrices de taille $M\times N$ dont les entrées sont des variables aléatoires Gaussiennes hétérogènes, $x_{ij,k}$, $i\in\{1,\ldots,M\}$, $j\in\{1,\ldots,N\}$, avec $M$ et $N$ qui tendent vers l’infini et $k\in\mathbb{Z}$. Pour $|k|$ grand, nous supposons l’écart-type de $x_{ij,k}$ de l’ordre de $\epsilon|k|^{s}$ pour $\epsilon>0$ tel que $\epsilon\rightarrow0$ et avec $s>0$ connu; notre modèle permet donc d’inclure le cadre des problèmes inverses modérément mal-posés.

Nos résultats sont des vitesses de séparation dans le problème de détection d’une sous-matrice significative de taille $m\times n$, avec $m$ et $n$ qui tendent vers l’infini et parcimonieuse, c-à-d $m/M$ et $n/N$ tendent vers $0$. Une composante $(i,j)$ est dite active si la suite $\{x_{ij,k}\}_{k}$ a une espérance $\{\theta_{ij,k}\}_{k}$ qui appartient à une ellipsoide de Sobolev de régularité $\tau>0$ et une énergie totale $\sum_{k}\theta^{2}_{ij,k}$ supérieure à $r^{2}_{\epsilon}$. Nous construisons une procédure de test pour laquelle nous obtenons des vitesses de séparation impliquant des relations entre $m,n,M$, $N$ et $\epsilon$, de sorte que l’erreur totale de test tende vers $0$. Nous montrons comment rendre ces vitesses de tests adaptatives en $(m,n)$, la taille des sous-matrices significatives.

En faisant une hypothèse supplémentaire sur la taille relative des sous-matrices à détecter, nous prouvons les bornes inférieures correspondantes, ce qui assure qu’aucune procédure de test n’est capable de distinguer l’hypothèse nulle de l’alternative avec des vitesses « meilleures » que celles obtenues par notre procédure de test. Dans certains cas, nous obtenons des vitesses de séparation exactes.

We consider a two-parameter averaging-homogenization type elliptic problem together with the stochastic representation of the solution. A limit theorem is derived for the corresponding diffusion process and a precise description of the two-parameter limit behavior for the solution of the PDE is obtained.

Nous considérons un problème elliptique de type moyennisation / homogénisation à deux paramètres, en combinaison avec la représentation stochastique de la solution. Nous obtenons un théorème limite pour le processus de diffusion correspondant ainsi qu’une description précise du comportement limite de la solution de l’EDP.

We study the model of random permutations of $n$ objects with polynomially growing cycle weights, which was recently considered by Ercolani and Ueltschi, among others. Using saddle-point analysis, we prove that the total variation distance between the process which counts the cycles of size $1,2,\ldots,b$ and a process $(Z_{1},Z_{2},\ldots,Z_{b})$ of independent Poisson random variables converges to $0$ if and only if $b=o(\ell)$ where $\ell$ denotes the length of a typical cycle in this model. By means of this result, we prove a central limit theorem for the order of a permutation and thus extend the Erdős–Turán law to this measure. Furthermore, we prove a Brownian motion limit theorem for the small cycles.

Nous nous intéressons à un modèle de permutations aléatoires de $n$ éléments, avec des poids polynomiaux en les longueurs des cycles, qui a été étudié notamment par Ercolani et Ueltschi. En utilisant l’analyse des points selles des transformées de Fourier, nous montrons que la distance en variation totale entre la suite des nombres de cycles de tailles $1,2,\ldots,b$ et une certaine suite $(Z_{1},Z_{2},\ldots,Z_{b})$ de variables de Poisson indépendantes, converge vers $0$ quand $n\to\infty$ si et seulement si $b=o(\ell)$, où $\ell$ désigne la longueur d’un cycle typique de ce modèle. À l’aide de ce résultat, nous établissons ensuite un théorème central limite pour l’ordre de la permutation, étendant ainsi la loi d’Erdős–Turán. Enfin, nous démontrons le caractère brownien pour la limite des petits cycles.

Let $(\varepsilon_{t})_{t>0}$ be a sequence of independent real random vectors of $p$-dimension and let $X_{T}=\sum_{t=s+1}^{s+T}\varepsilon_{t}\varepsilon^{*}_{t-s}/T$ be the lag-$s$ ($s$ is a fixed positive integer) auto-covariance matrix of $\varepsilon_{t}$. Since $X_{T}$ is not symmetric, we consider its singular values, which are the square roots of the eigenvalues of $X_{T}X^{*}_{T}$. Using the method of moments, we are able to investigate the limiting behaviors of the eigenvalues of $X_{T}X^{*}_{T}$ in two aspects. First, we show that the empirical spectral distribution of its eigenvalues converges to a nonrandom limit $F$, which is a result previously developed in (J. Multivariate Anal. 137 (2015) 119–140) using the Stieltjes transform method. Second, we establish the convergence of its largest eigenvalue to the right edge of $F$.

Soit $(\varepsilon_{t})_{t>0}$ une suite de vecteurs aléatoires indépendants de $\mathbb{R}^{p}$ et $X_{T}=\sum_{t=s+1}^{s+t}\varepsilon_{t}\varepsilon_{t-s}^{*}/T$ la matrice d’autocovariance empirique d’ordre $s$ de la suite ($s$ est un ordre fixé). Comme $X_{T}$ n’est pas symétrique, nous considérons ses valeurs singulières, c’est-à-dire les racines carrées des valeurs propres de la matrice aléatoire $X_{T}X_{T}^{*}$. En utilisant la méthode des moments, nous établissons les propriétés limites de ces valeurs singulières dans deux directions. D’abord, nous démontrons que leur distribution empirique converge vers une limite déterministe $F$, retrouvant ainsi un résultat établi dans (J. Multivariate Anal. 137 (2015) 119–140) par la méthode de la transformée de Stieltjes. Ensuite, nous montrons que la plus grande de ces valeurs singulières converge vers le point extrémal du support de $F$.

A planar map is outerplanar if all its vertices belong to the same face. We show that random uniform outerplanar maps with $n$ vertices suitably rescaled by a factor $1/\sqrt{n}$ converge in the Gromov–Hausdorff sense to ${7\sqrt{2}}/{9}$ times Aldous’ Brownian tree. The proof uses the bijection of Bonichon, Gavoille and Hanusse (J. Graph Algorithms Appl. 9 (2005) 185–204).

Une carte planaire est dite outerplanaire si tous ses sommets appartiennent à la même face. Nous montrons que les cartes outerplanaires aléatoires uniformes à $n$ sommets, multipliées par le facteur d’échelle $1/\sqrt{n}$, convergent au sens de Gromov–Hausdorff vers ${7\sqrt{2}}/{9}$ fois l’arbre Brownien d’Aldous. La preuve utilise la bijection de Bonichon, Gavoille et Hanusse (J. Graph Algorithms Appl. 9 (2005) 185–204).

This article analyses a new class of advanced particle Markov chain Monte Carlo algorithms recently introduced by Andrieu, Doucet and Holenstein (J. R. Stat. Soc. Ser. B Stat. Methodol. 72 (2010) 1–269). We present a natural interpretation of these methods in terms of well known unbiasedness properties of Feynman–Kac particle measures, and a new duality with Feynman–Kac models.

This perspective sheds new light on the foundations and the mathematical analysis of this class of methods. A key consequence is their equivalence with the Gibbs sampling of a many-body Feynman–Kac target distribution. Our approach also presents a new stochastic differential calculus based on geometric combinatorial techniques. These techniques allow us to derive non-asymptotic Taylor type series for the semigroup of a class of particle Markov chain Monte Carlo models around their invariant measures with respect to the population size of the auxiliary particle sampler.

These results provide sharp quantitative estimates of the convergence rate to equilibrium of the models with respect to the time horizon and the size of the systems. We illustrate the direct implication of these results with sharp estimates of the contraction coefficient and the Lyapunov exponent of the corresponding samplers, and explicit and non-asymptotic $\mathbb{L}_{p}$-mean error decompositions of the law of the random states around the limiting invariant measure. The abstract framework developed in the article also allows the design of natural extensions to island (also called $\mathrm{SMC}^{2}$) type particle methodologies.

We illustrate this general framework and results in the context of nonlinear filtering, hidden Markov chain problems with fixed unknown parameters, and Feynman–Kac path-integration models arising in computational quantum physics and molecular chemistry.

Cet article analyse une classe de méthodes de Monte Carlo avancées de type particulaire introduites par Andrieu, Doucet, et Holenstein (J. R. Stat. Soc. Ser. B Stat. Methodol. 72 (2010) 1–269). Nous présentons une interprétation naturelle de ces méthodes en termes de mesures de Feynman–Kac particulaires non biaisées classiques et d’une nouvelle formule de dualité entre modèles de Feynman–Kac.

Ce cadre d’étude apporte un nouvel éclairage sur les fondations et l’analyse mathématique de ces méthodes. Une conséquence importante est l’équivalence de ces dernières avec la méthode d’échantillonnage de Gibbs d’une distribution de Feynman–Kac multi-corps. Notre étude développe aussi un nouveau calcul différentiel stochastique fondé sur des techniques géométriques et combinatoires. Ces techniques permettent d’obtenir des développements non asymptotiques des semigroupes de modèles de Monte Carlo par Chaînes de Markov particulaires autour de leur mesure invariante, en fonction de la taille des systèmes de particules en interaction auxiliaires.

Cette analyse conduit à des estimations quantitatives précises de la convergence à l’équilibre de ces modèles par rapport à l’horizon temporel et la taille des systèmes. Nous illustrons ces résultats avec quelques implications directes, notamment l’estimation précise des coefficients de contraction et des exposants de Lyapunov de ces algorithmes de simulation, ainsi que l’estimation fine de l’erreur en norme $\mathbb{L}_{p}$ entre la loi des états aléatoires de ces chaînes de Markov et leur mesure d’équilibre. Le cadre abstrait de l’article permet d’élaborer et d’étendre de façon naturelle ces méthodes à des classes d’algorithmes fondés sur des évolutions d’ilôts particulaires (aussi connus sous le nom $\mathrm{SMC}^{2}$).

Nous montrons enfin comment ce cadre général et les résultats de l’article s’appliquent à l’étude de problèmes de filtrage non linéaire, l’estimation de paramètres fixes dans des modèles de chaînes de Markov cachées, et dans des problèmes d’integration trajectorielle rencontrés en physique quantique et en chimie moléculaire.

It has been shown by Akemann, Ipsen and Kieburg that the squared singular values of products of $M$ rectangular random matrices with independent complex Gaussian entries are distributed according to a determinantal point process with a correlation kernel that admits a representation in terms of Meijer G-functions. We prove the universality of the local statistics of the squared singular values, namely, the bulk universality given by the sine kernel and the edge universality given by the Airy kernel. The proof is based on the asymptotic analysis for the double contour integral representation of the correlation kernel. Our strategy can be generalized to deal with other models of products of random matrices introduced recently and to establish similar universal results. Two more examples are investigated, one is the product of $M$ Ginibre matrices and the inverse of $K$ Ginibre matrices studied by Forrester, and the other one is the product of $M-1$ Ginibre matrices with one truncated unitary matrix considered by Kuijlaars and Stivigny.

Il a été démontré par Akemann, Ipsen et Kieburg que les valeurs singulières carrées de produits de $M$ matrices aléatoires rectangulaires composées de variables aléatoires complexes gaussiennes, suivent un processus ponctuel déterminantal, avec un noyau de corrélation qui admet une représentation en fonction des fonctions G de Meijer. Nous démontrons l’universalité des statistiques locales des valeurs singulières carrées, c’est-à-dire, l’universalité dans le bulk donné par le noyau sinus et l’universalité au bord donné par le noyau Airy. La preuve est basée sur l’analyse asymptotique de la représentation du noyau de corrélation comme une double intégrale de contour. Notre stratégie peut être généralisée à d’autres modèles de produits de matrices aléatoires introduits récemment, afin d’obtenir des résultats d’universalité similaires. Deux autres exemples sont considérés, le premier étant le produit de $M$ matrices de Ginibre et l’inverse de $K$ matrices de Ginibre, étudié par Forrester, le deuxième étant le produit de $M-1$ matrices de Ginibre avec une troncation d’une matrice unitaire, considéré par Kuijlaars et Stivigny.

We show that on groups generated by bounded activity automata, every symmetric, finitely supported probability measure has the Liouville property. More generally we show this for every group of automorphisms of bounded type of a rooted tree. For automaton groups, we also give a uniform upper bound for the entropy of convolutions of every symmetric, finitely supported measure.

Nous démontrons que les groupes engendrés par les automates d’activité bornée ont la propriété de Liouville pour tout choix d’une mesure de probabilité symétrique, de support fini. Plus généralement, nous montrons ce résultat pour tous les groupes agissants sur un arbre enraciné par automorphismes de type borné. Dans le cas des groupes d’automate nous obtenons aussi une borne supérieure uniforme pour l’entropie, qui ne dépend pas du choix de la mesure symétrique, de support fini.

We prove that crossing probabilities for the critical planar Ising model with free boundary conditions are conformally invariant in the scaling limit, a phenomenon first investigated numerically by Langlands, Lewis and Saint-Aubin (J. Stat. Phys. 98 (2000) 131–244). We do so by establishing the convergence of certain exploration processes towards $\operatorname{SLE}(3,\frac{-3}{2},\frac{-3}{2})$. We also construct an exploration tree for free boundary conditions, analogous to the one introduced by Sheffield (Duke Math. J. 147 (2009) 79–129).

Nous prouvons que les probabilités de croisement pour le modèle d’Ising planaire critique avec conditions aux bords libres sont invariantes conformes à la limite d’échelle, un phénomène initialement étudié numériquement par Langlands, Lewis et Saint-Aubin (J. Stat. Phys. 98 (2000) 131–244). Pour ce faire, nous établissons la convergence de certains processus d’exploration vers $\operatorname{SLE}(3,\frac{-3}{2},\frac{-3}{2})$. Nous construisons également un arbre d’exploration pour les conditions aux bords libres, similaire à l’arbre d’exploration introduit par Sheffield (Duke Math. J. 147 (2009) 79–129).

In this paper, we provide sufficient conditions for the existence of the invariant distribution and for subgeometric rates of convergence in Wasserstein distance for general state-space Markov chains which are (possibly) not irreducible. Compared to (Ann. Appl. Probab. 24 (2) (2014) 526–552), our approach is based on a purely probabilistic coupling construction which allows to retrieve rates of convergence matching those previously reported for convergence in total variation in (Bernoulli 13 (3) (2007) 831–848).

Our results are applied to establish the subgeometric ergodicity in Wasserstein distance of non-linear autoregressive models and of the pre-conditioned Crank–Nicolson Markov chain Monte Carlo algorithm in Hilbert space.

Dans cet article, nous donnons des conditions suffisantes pour l’existence d’une probabilité invariante et qui permettent d’établir des taux de convergence sous-géométriques en distance de Wasserstein, pour des chaînes de Markov définies sur des espaces d’états généraux et non nécessairement irréductibles. Comparée à (Ann. Appl. Probab. 24 (2) (2014) 526–552), notre approche est basée sur une construction par couplage purement probabiliste, ce qui permet de retrouver les taux de convergence obtenus précédement pour la variation total dans (Bernoulli 13 (3) (2007) 831–848).

Par application de ces résultats, nous établissons la convergence sous-géométrique en distance de Wasserstein de modèles non linéaires auto-régressifs et l’algorithme de MCMC, l’algorithme de Crank–Nicolson pré-conditionné dans les espaces de Hilbert, pour une certaine classe de mesure cible.

The (left-)curtain coupling, introduced by Beiglböck and the author is an extreme point of the set of “martingale” couplings between two real probability measures in convex order. It enjoys remarkable properties with respect to order relations and a minimisation problem inspired by the theory of optimal transport. An explicit representation and a number of further noteworthy attributes have recently been established by Henry-Labordère and Touzi. In the present paper we prove that the curtain coupling depends continuously on the prescribed marginals and quantify this with Lipschitz estimates.

Le couplage rideau (gauche), introduit par Beiglböck et Juillet est un point extrémal de l’ensemble des couplages « martingale » entre deux mesures de probabilité réelles prises dans l’ordre convexe. Ce couplage possède des propriétés remarquables quant aux relations d’ordre entre mesures d’une part, et par rapport à un problème de minimisation issu de la théorie du transport optimal d’autre part. Une représentation explicite a été récemment mise en évidence par Henry-Labordère et Touzi. Nous démontrons dans cet article que le couplage rideau dépend continument des mesures marginales prescrites et nous quantifions cette dépendance à l’aide d’inégalités lipschitziennes.

We continue the study of a stochastic system of interacting neurons introduced in De Masi, Galves, Löcherbach and Presutti (J. Stat. Phys. 158 (2015) 866–902). The system consists of $N$ neurons, each spiking randomly with rate depending on its membrane potential. At its spiking time, the neuron potential is reset to $0$ and all other neurons receive an additional amount $1/N$ of potential. Moreover, electrical synapses induce a deterministic drift of the system towards its average potential. We prove propagation of chaos of the system, as $N\to\infty $, to a limit nonlinear jumping stochastic differential equation. We consequently improve on the results of (J. Stat. Phys. 158 (2015) 866–902), since (i) we remove the compact support condition on the initial datum, (ii) we get a rate of convergence in $1/\sqrt{N}$. Finally, we study the limit equation: we describe the shape of its time-marginals, we prove the existence of a unique nontrivial invariant distribution, we show that the trivial invariant distribution is not attractive, and in a special case, we establish the convergence to equilibrium.

Cet article continue l’étude du système stochastique de neurones en interaction introduit par De Masi, Galves, Löcherbach et Presutti (J. Stat. Phys. 158 (2015) 866–902). Le système est composé de $N$ neurones. Chaque neurone décharge un potentiel d’action à des instants aléatoires, à un taux qui dépend de son potentiel de membrane. Ce potentiel est alors remis à $0$, et tous les autres neurones reçoivent une charge supplémentaire de $1/N$. De plus, des synapses électriques induisent une dérive déterministe qui attire le système vers sa valeur moyenne. Nous établissons la propriété de propagation du chaos lorsque $N\to\infty$, vers la solution d’une équation différentielle stochastique non-linéaire à sauts. Nous améliorons les résultats obtenus dans (J. Stat. Phys. 158 (2015) 866–902) puisque (i) nous levons la condition de support compact imposée aux données initiales, (ii) nous obtenons une vitesse de convergence en $1/\sqrt{N}$. Enfin, nous proposons une étude de l’équation limite : nous décrivons la forme de ses lois marginales (en temps), nous démontrons l’existence d’une unique loi invariante non-triviale et montrons que la mesure invariante triviale n’est pas attractive. Enfin, nous obtenons la convergence vers l’équilibre dans un cas particulier.

We study the empirical spectral distribution (ESD) in the limit where $n\to\infty$ of a fixed $n$ by $n$ matrix $M_{n}$ plus small random noise of the form $f(n)X_{n}$, where $X_{n}$ has iid mean 0, variance $1/n$ entries and $f(n)\to0$. It is known for certain $M_{n}$, in the case where $X_{n}$ is iid complex Gaussian, that the limiting distribution of the ESD of $M_{n}+f(n)X_{n}$ can be dramatically different from that for $M_{n}$. We prove a general universality result showing, with some conditions on $M_{n}$ and $f(n)$, that the limiting distribution of the ESD does not depend on the type of distribution used for the random entries of $X_{n}$. We use the universality result to exactly compute the limiting ESD for two families where it was not previously known. The proof of the main result incorporates the Tao–Vu replacement principle and a version of the Lindeberg replacement strategy, along with the newly-defined notion of stability of sets of rows of a matrix.

Nous étudions la distribution spectrale empirique (DSE) dans la limite $n\to\infty$ d’une matrice $M_{n}$, de taille $n$ par $n$, plus un petit bruit aléatoire de la forme $f(n)X_{n}$, où $X_{n}$ a des entrées iid centrées, avec variance $1/n$, et $f(n)\to0$. Il est connu que pour certaines matrices $M_{n}$, dans le cas où $X_{n}$ a des entrées complexes gaussiennes iid, alors la distribution limite de la DSE de $M_{n}+f(n)X_{n}$ peut être radicalement différente de celle de $M_{n}$. Nous prouvons un résultat général d’universalité en montrant, sous quelques conditions sur $M_{n}$ et $f(n)$, que la distribution limite de la DSE ne dépend pas du type de la distribution des entrées aléatoires de $X_{n}$. Nous utilisons ce résultat d’universalité pour calculer exactement la limite de la DSE pour deux familles pour lesquelles le résultat n’était pas connu auparavant. La preuve du résultat principal incorpore le principe de remplacement de Tao–Vu et une version de la stratégie de remplacement de Lindeberg, avec une notion nouvelle de stabilité d’ensembles de lignes d’une matrice.

Let $\eta^{*}_{n}$ denote the maximum, at time $n$, of a nonlattice one-dimensional branching random walk $\eta_{n}$ possessing (enough) exponential moments. In a seminal paper, Aïdekon (Ann. Probab. 41 (2013) 1362–1426) demonstrated convergence of $\eta^{*}_{n}$ in law, after centering, and gave a representation of the limit. We give here a shorter proof of this convergence by employing reasoning motivated by Bramson, Ding and Zeitouni (Convergence in law of the maximum of the two-dimensional discrete Gaussian free field; preprint). Instead of spine methods and a careful analysis of the renewal measure for killed random walks, our approach employs a modified version of the second moment method that may be of independent interest. We indicate the modifications needed in order to handle lattice random walks.

Soit $\eta_{n}^{*}$ le maximum, à l’instant $n$, d’une marche aléatoire branchante unidimensionnelle qui n’est pas supportée sur un réseau et qui possède suffisamment de moments exponentiels. Dans un article fondateur, Aïdekon (Ann. Probab. 41 (2013) 1362–1426) a démontré la convergence de $\eta_{n}^{*}$, après centrage, en distribution, et a donné une représentation de la limite. Nous donnons ici une preuve plus courte de cette convergence en employant un raisonnement motivé par Bramson, Ding et Zeitouni (Convergence in law of the maximum of the two-dimensional discrete Gaussian free field; preprint). Au lieu des méthodes spinales et d’une analyse de la mesure de renouvellement pour la marche aléatoire tuée, notre méthode utilise une version modifiée de la méthode du deuxième moment, qui peut être d’intérêt indépendant. Nous indiquons les modifications nécessaire pour traiter les marches aléatoires sur un réseau.

We consider a stable driven degenerate stochastic differential equation, whose coefficients satisfy a kind of weak Hörmander condition. Under mild smoothness assumptions we prove the uniqueness of the martingale problem for the associated generator under some dimension constraints. Also, when the driving noise is scalar and tempered, we establish density bounds reflecting the multi-scale behavior of the process.

Pour une équation différentielle stochastique dégénérée dirigée par un processus stable et dont les coefficients vérifient une condition de Hörmander faible, nous établissons sous de faibles hypothèses de régularité l’unicité au problème de martingale sous des contraintes de dimensions. Par ailleurs, lorsque le bruit est scalaire et tempéré, nous obtenons des bornes de densité reflétant le caractère multi-échelle du processus.

Let $X,X_{1},\ldots,X_{n}$ be i.i.d. Gaussian random variables with zero mean and covariance operator $\Sigma=\mathbb{E}(X\otimes X)$ taking values in a separable Hilbert space $\mathbb{H}$. Let

\[\mathbf{r}(\Sigma):=\frac{\operatorname{tr}(\Sigma)}{\|\Sigma\|_{\infty}}\] be the effective rank of $\Sigma$, $\operatorname{tr}(\Sigma)$ being the trace of $\Sigma $ and $\|\Sigma\|_{\infty}$ being its operator norm. Let

\[\hat{\Sigma}_{n}:=n^{-1}\sum_{j=1}^{n}(X_{j}\otimes X_{j})\] be the sample (empirical) covariance operator based on $(X_{1},\ldots,X_{n})$. The paper deals with a problem of estimation of spectral projectors of the covariance operator $\Sigma $ by their empirical counterparts, the spectral projectors of $\hat{\Sigma}_{n}$ (empirical spectral projectors). The focus is on the problems where both the sample size $n$ and the effective rank $\mathbf{r}(\Sigma)$ are large. This framework includes and generalizes well known high-dimensional spiked covariance models. Given a spectral projector $P_{r}$ corresponding to an eigenvalue $\mu_{r}$ of covariance operator $\Sigma $ and its empirical counterpart $\hat{P}_{r}$, we derive sharp concentration bounds for bilinear forms of empirical spectral projector $\hat{P}_{r}$ in terms of sample size $n$ and effective dimension $\mathbf{r}(\Sigma)$. Building upon these concentration bounds, we prove the asymptotic normality of bilinear forms of random operators $\hat{P}_{r}-\mathbb{E}\hat{P}_{r}$ under the assumptions that $n\to\infty $ and $\mathbf{r}(\Sigma)=o(n)$. In a special case of eigenvalues of multiplicity one, these results are rephrased as concentration bounds and asymptotic normality for linear forms of empirical eigenvectors. Other results include bounds on the bias $\mathbb{E}\hat{P}_{r}-P_{r}$ and a method of bias reduction as well as a discussion of possible applications to statistical inference in high-dimensional Principal Component Analysis.

Soient $X,X_{1},\ldots,X_{n}$ des vecteurs gaussiens à valeurs dans un espace de Hilbert séparable $\mathbb{H}$, i.i.d. et centrés. Nous définissons l’opérateur de covariance $\Sigma=\mathbb{E}(X\otimes X)$ et le rang effectif de $\Sigma $

\[\mathbf{r}(\Sigma):=\frac{\operatorname{tr}(\Sigma)}{\|\Sigma\|_{\infty}}\] où $\operatorname{tr}(\Sigma)$ est la trace of $\Sigma $ et $\|\Sigma\|_{\infty }$ est sa norme d’opérateur. Nous considérons

\[\hat{\Sigma}_{n}:=n^{-1}\sum_{j=1}^{n}(X_{j}\otimes X_{j})\] l’opérateur de covariance empirique construit à partir des observations $(X_{1},\ldots,X_{n})$. Ce papier considère le problème d’estimation des projecteurs spectraux de l’opérateur de covariance $\Sigma $ par les projecteurs spectraux empiriques, c’est-à-dire les projecteurs spectraux de $\hat{\Sigma}_{n}$. Nous nous concentrons sur les problèmes où le nombre d’observations $n$ et le rang effectif $\mathbf{r}(\Sigma)$ sont grands. Ce cadre inclut et généralise les modèles de spiked covariance en grande dimension. Soient $P_{r}$ un projecteur spectral correspondant à une valeur propre $\mu_{r}$ de l’opérateur de covariance $\Sigma $ et $\hat{P}_{r}$ sa version empirique. Nous établissons des bornes de concentrations fines sur les formes bilinéaires du projecteur empirique $\hat{P}_{r}$, qui dépendent du nombre d’observations $n$ et de la dimension effective $\mathbf{r}(\Sigma)$. Nous exploitons ensuite ces bornes de concentration pour établir la normalité asymptotique des formes bilinéaires des opérateurs aléatoires $\hat{P}_{r}-\mathbb{E}\hat{P}_{r}$ sous les hypothèses que $n\to\infty $ et $\mathbf{r}(\Sigma)=o(n)$. Dans le cas particulier des valeurs propres de multiplicité $1$, ces résultats sont reformulés en terme de bornes de concentration et de normalité asymptotique pour les formes linéaires des vecteurs propres empiriques. Nous prouvons aussi de nouveaux résultats sur le biais $\mathbb{E}\hat{P}_{r}-P_{r}$ incluant notamment une méthode de réduction du bias. Finalement, nous discutons des applications possibles de ces résultats à l’inférence statistique en grande dimension pour l’analyse en composantes principales.