The scaling limit of random outerplanar maps

Abstract

A planar map is outerplanar if all its vertices belong to the same face. We show that random uniform outerplanar maps with $n$ vertices suitably rescaled by a factor $1/\sqrt{n}$ converge in the Gromov–Hausdorff sense to ${7\sqrt{2}}/{9}$ times Aldous’ Brownian tree. The proof uses the bijection of Bonichon, Gavoille and Hanusse (J. Graph Algorithms Appl. 9 (2005) 185–204).

Une carte planaire est dite outerplanaire si tous ses sommets appartiennent à la même face. Nous montrons que les cartes outerplanaires aléatoires uniformes à $n$ sommets, multipliées par le facteur d’échelle $1/\sqrt{n}$, convergent au sens de Gromov–Hausdorff vers ${7\sqrt{2}}/{9}$ fois l’arbre Brownien d’Aldous. La preuve utilise la bijection de Bonichon, Gavoille et Hanusse (J. Graph Algorithms Appl. 9 (2005) 185–204).