Fusion coefficients and random walks in alcoves

Abstract

In the context of fusion coefficients we construct Markovian processes with values in a fixed level alcove associated to the root system of an affine Lie algebra. In this context we show that for a large class of simple random walks, the discretized characters of irreducible representations of a semi-simple complex Lie algebra appear naturally as the eigenfunctions of the Dirichlet problem on such an alcove. We establish a correspondence between the hypergroup of conjugacy classes of a compact Lie group and the fusion hypergroup. For the stochastic model appearing in the context of fusion coefficients, we prove finally a convergence in distribution towards the radial part of a Brownian motion on a compact Lie group.

Nous construisons, dans le contexte des coefficients de fusion, des processus markoviens à valeurs dans une alcôve associée au système de racines d’une algèbre de Lie affine. Dans ce contexte, nous montrons comment, pour une large classe de marches aléatoires simples, les caractères discrétisés des représentations irréductibles des algèbres de Lie semi-simples complexes apparaissent naturellement comme les fonctions propres d’un problème de Dirichlet sur une telle alcôve. On établit par ailleurs une correspondance entre l’hypergroupe des classes de conjugaison d’un groupe de Lie compact et l’hypergroupe de fusion. Nous montrons enfin, pour le modèle aléatoire apparaissant dans le contexte des coefficients de fusion, un résultat de convergence en loi vers la partie radiale d’un mouvement brownien sur un groupe de Lie compact.