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August 2016 Estimate for $P_{t}D$ for the stochastic Burgers equation
Giuseppe Da Prato, Arnaud Debussche
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 52(3): 1248-1258 (August 2016). DOI: 10.1214/15-AIHP685

Abstract

We consider the Burgers equation on $H=L^{2}(0,1)$ perturbed by white noise and the corresponding transition semigroup $P_{t}$. We prove a new formula for $P_{t}D_{x}\varphi$ which depends on $\varphi$ but not on its derivative. This formula allows us to provide a bound on $D_{x}\varphi$ in $L^{2}(H,\nu)$ where $\nu$ is the invariant measure of $P_{t}$. Some new consequences for the invariant measure $\nu$ of $P_{t}$ are discussed as its Fomin differentiability and an integration by parts formula which generalises the classical one for Gaussian measures.

Nous considèrons l’équation de Burgers stochastique sur $H=L^{2}(0,1)$ dirigée par un bruit blanc, de semi-groupe de transition $P_{t}$, et démontrons une nouvelle formule qui permet d’exprimer $P_{t}D_{x}\varphi$ en terme de $\varphi$ mais pas de sa différentielle. Celle-ci nous permet d’obtenir des estimations sur $D_{x}\varphi$ dans $L^{2}(H,\nu)$, où $\nu$ est la mesure invariante de $P_{t}$, dont découlent quelques conséquences telles que l’existence de dérivées de Fomin pour $\nu$ ou encore une formule d’intégration par partie qui généralise celle bien connue pour les mesures gaussiennes.

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Giuseppe Da Prato. Arnaud Debussche. "Estimate for $P_{t}D$ for the stochastic Burgers equation." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 52 (3) 1248 - 1258, August 2016. https://doi.org/10.1214/15-AIHP685

Information

Received: 13 November 2014; Revised: 21 April 2015; Accepted: 21 April 2015; Published: August 2016
First available in Project Euclid: 28 July 2016

zbMATH: 1350.60057
MathSciNet: MR3531708
Digital Object Identifier: 10.1214/15-AIHP685

Subjects:
Primary: 35R15, 60H15

Rights: Copyright © 2016 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
11 PAGES


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Vol.52 • No. 3 • August 2016
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