We present a nonasymptotic theorem for interacting particle approximations of unnormalized Feynman–Kac models. We provide an original stochastic analysis-based on Feynman–Kac semigroup techniques combined with recently developed coalescent tree-based functional representations of particle block distributions. We present some regularity conditions under which the $\mathbb {L}_{2}$-relative error of these weighted particle measures grows linearly with respect to the time horizon yielding what seems to be the first results of this type for this class of unnormalized models. We also illustrate these results in the context of particle absorption models, with a special interest in rare event analysis.

Nous présentons un théorème non asymptotique pour les approximation par systèmes de particules en interaction des modèles de Feynman–Kac non normalisés. Nous introduisons une analyse stochastique originale basée sur des techniques de semigroupes de Feynman–Kac, associées avec les représentation, récemment proposées, des distributions de blocks de particules, en terme de développement en arbre de coalescence. Nous présentons des conditions de régularité sous lesquelles l’erreur relative $\mathbb {L}_{2}$ de ces mesures particulaires pondérées croît linéairement par rapport ‘a l’horizon temporel, conduisant ‘a ce qui semble être le premier résultat de ce type pour cette classe de modèles non normalisés. Nous illustrons ces résultats dans le contexte des mesures statiques de Boltzmann–Gibbs et des distributions restreintes, avec un intéret partuculier pour les événements rares.

Motivated by the recent development in the theory of jump processes, we investigate its conservation property. We will show that a jump process is conservative under certain conditions for the volume-growth of the underlying space and the jump rate of the process. We will also present examples of jump processes which satisfy these conditions.

Motivés par les récents développements dans la théorie des processus de sauts, nous étudions leur propriété de conservation. Nous montrons qu’un processus de saut est conservatif sous certaines conditions sur la croissance du volume de l’espace sous-tendant et sur le taux de saut du processus. Nous donnons des examples de processus satisfaisant ces conditions.

It is well known that the distribution of simple random walks on ℤ conditioned on returning to the origin after 2n steps does not depend on p=P(S₁=1), the probability of moving to the right. Moreover, conditioned on {S_2n=0} the maximal displacement max_k≤2n|S_k| converges in distribution when scaled by √n (diffusive scaling).

We consider the analogous problem for transient random walks in random environments on ℤ. We show that under the quenched law P_ω (conditioned on the environment ω), the maximal displacement of the random walk when conditioned to return to the origin at time 2n is no longer necessarily of the order √n. If the environment is nestling (both positive and negative local drifts exist) then the maximal displacement conditioned on returning to the origin at time 2n is of order n^κ/(κ+1), where the constant κ>0 depends on the law on environments. On the other hand, if the environment is marginally nestling or non-nestling (only non-negative local drifts) then the maximal displacement conditioned on returning to the origin at time 2n is at least n^1−ε and at most n/(ln n)^2−ε for any ε>0.

As a consequence of our proofs, we obtain precise rates of decay for P_ω(X_2n=0). In particular, for certain non-nestling environments we show that P_ω(X_2n=0)=exp{−Cn−C'n/(ln n)²+o(n/(ln n)²)} with explicit constants C, C'>0.

Il est bien connu que la distribution d’une marche aléatoire simple sur ℤ, conditionée à retourner à l’origine au temps 2n est indépendante de p=P(S₁=1), la probabilité d’un pas vers la droite. De plus, conditionellement à {S_2n=0}, le déplacement maximum max_k≤2n|S_k|, divisé par √n, converge en distribution.

Nous considérons le mème problème pour les marches transientes en environnement aléatoire sur ℤ. Nous montrons que sous la loi “quenched,” le déplacement maximum pour la marche conditionnée à retourner à l’origine au temps 2n n’est pas toujours de l’ordre de √n. Si l’environement a des drifts locaux positifs et negatifs alors cet ordre de grandeur est n^κ/(κ+1), où κ>0 dépend de la loi de l’environement. Mais, si l’environement n’a que des drifts locaux positifs ou nuls, alors cet ordre de grandeur est proche de n.

Les preuves fournissent de plus l’ordre de grandeur de P_ω(X_2n=0). Dans le cas où les drifts locaux sont tous positifs nous montrons que P_ω(X_2n=0)=exp{−Cn−C'n/(ln n)²+o(n/(ln n)²)}.

Let X be a regular continuous positively recurrent Markov process with state space ℝ, scale function S and speed measure m. For a∈ℝ denote

B_a⁺=sup_x≥am(]x, +∞[)(S(x)−S(a)),

B_a⁻=sup_x≤am(]−∞; x[)(S(a)−S(x)).

It is well known that the finiteness of B_a^± is equivalent to the existence of spectral gaps of generators associated with X. We show how these quantities appear independently in the study of the exponential moments of hitting times of X. Then we establish a very direct relation between exponential moments and spectral gaps, all by improving their classical bounds.

Soit X un processus de Markov récurrent positif à trajectoires continues et à valeurs dans ℝ. Soient S sa fonction d’échelle et m sa mesure de vitesse. Pour a∈ℝ notons

B_a⁺=sup_x≥am(]x, +∞[)(S(x)−S(a)),

B_a⁻=sup_x≤am(]−∞; x[)(S(a)−S(x)).

Il est bien connu que la finitude de B_a^± est équivalente à l’existence d’un trou spectral du générateur associé à X. Nous montrons comment ces quantités apparaissent d’une manière indépendante dans l’étude des temps d’atteinte de X. Ensuite nous établissons une relation directe entre les moments exponentiels et le trou spectral, en améliorant en plus leurs encadrements classiques.

This work is concerned with the existence and regularity of solutions to the Neumann problem associated with a Ornstein–Uhlenbeck operator on a bounded and smooth convex set K of a Hilbert space H. This problem is related to the reflection problem associated with a stochastic differential equation in K.

Dans cet article nous étudions l’existence et la régularité des solutions d’un problème de Neumann associé à un opérateur de Ornstein–Uhlenbeck défini sur un domaine convexe K, borné et régulier dans un espace de Hilbert H. Le problème est lié à un problème de réflexion associé à une équation différentielle stochastique dans le domaine K.

A variational formula for positive functionals of a Poisson random measure and Brownian motion is proved. The formula is based on the relative entropy representation for exponential integrals, and can be used to prove large deviation type estimates. A general large deviation result is proved, and illustrated with an example.

Une formule variationnelle pour des fonctionnelles positives d’une mesure de Poisson aléatoire et d’un mouvement brownien est démontrée. Cette formule provient de la représentation des intégrales exponentielles par l’entropie relative, et peut être utilisée pour obtenir des estimées de grandes déviations. Un résultat de grandes déviations général est démontré.

In this paper, we consider the problem of estimating the covariation of two diffusion processes when observations are subject to non-synchronicity. Building on recent papers [Bernoulli 11 (2005) 359–379, Ann. Inst. Statist. Math. 60 (2008) 367–406], we derive second-order asymptotic expansions for the distribution of the Hayashi–Yoshida estimator in a fairly general setup including random sampling schemes and non-anticipative random drifts. The key steps leading to our results are a second-order decomposition of the estimator’s distribution in the Gaussian set-up, a stochastic decomposition of the estimator itself and an accurate evaluation of the Malliavin covariance. To give a concrete example, we compute the constants involved in the resulting expansions for the particular case of sampling scheme generated by two independent Poisson processes.

Dans cet article, nous considérons le problème d’estimation de la covariation de deux processus de diffusion observés de façon asynchrone. Nous nous plaçons dans le cadre présenté dans [Bernoulli 11 (2005) 359–379, Ann. Inst. Statist. Math. 60 (2008) 367–406] et établissons un développement asymptotique au second ordre de la loi de l’estimateur de Hayashi–Yoshida. Ce développement est valable pour les drifts aléatoires non-anticipatifs et pour des pas d’échantillonnage irréguliers, éventuellement aléatoires, mais indépendant des processus observés. L’approche utilisée pour obtenir les principaux résultats peut être décomposée en trois étapes. La première consiste à établir un développement au second-ordre de la loi de l’estimateur dans le cadre Gaussien. La deuxième est l’obtention d’une décomposition stochastique de l’estimateur lui-même et la dernière est l’évaluation de la covariance de Malliavin. A titre d’exemple, nous calculons les constantes du développement au second ordre dans le cas où l’échantillonnage est obtenu par deux processus de Poisson indépendants.

Through a Metropolis-like algorithm with single step computational cost of order one, we build a Markov chain that relaxes to the canonical Fermi statistics for k non-interacting particles among m energy levels. Uniformly over the temperature as well as the energy values and degeneracies of the energy levels we give an explicit upper bound with leading term km ln k for the mixing time of the dynamics. We obtain such construction and upper bound as a special case of a general result on (non-homogeneous) products of ultra log-concave measures (like binomial or Poisson laws) with a global constraint. As a consequence of this general result we also obtain a disorder-independent upper bound on the mixing time of a simple exclusion process on the complete graph with site disorder. This general result is based on an elementary coupling argument, illustrated in a simulation appendix and extended to (non-homogeneous) products of log-concave measures.

En définissant un algorithme de type Metropolis dont le coût de chaque pas est d’ordre 1, nous construisons une chaîne de Markov dont la mesure d’équilibre est donnée par la statistique de Fermi canonique pour k particules sans interaction parmi m niveaux d’énergie. Uniformément en la température, ainsi qu’en les énergies et capacités des différents niveaux d’énergie, nous donnons une majoration explicite et de terme dominant km ln k du temps de mélange de la dynamique. Nous obtenons cette construction et cette majoration comme cas particulier d’un résultat général sur les produits (non homogènes) de mesures ultra log-concaves (comme les lois binômiales ou de Poisson) sous une contrainte globale. Ce résultat général fournit aussi une majoration indépendante du désordre pour le temps de mélange du processus d’exclusion simple sur le graphe complet en potentiel aléatoire. Il découle d’un argument de couplage élémentaire, est illustré dans une appendice de simulations et étendu aux produits (non homogènes) de mesures log-concaves.

Attributing a positive value τ_x to each x∈ℤ^d, we investigate a nearest-neighbour random walk which is reversible for the measure with weights (τ_x), often known as “Bouchaud’s trap model.” We assume that these weights are independent, identically distributed and non-integrable random variables (with polynomial tail), and that d≥5. We obtain the quenched subdiffusive scaling limit of the model, the limit being the fractional kinetics process. We begin our proof by expressing the random walk as the time change of a random walk among random conductances. We then focus on proving that the time change converges, under the annealed measure, to a stable subordinator. This is achieved using previous results concerning the mixing properties of the environment viewed by the time-changed random walk.

Après avoir attribué une valeur positive τ_x à chaque x de ℤ^d, nous nous intéressons à une marche aléatoire au plus proche voisin et réversible pour la mesure de poids (τ_x), souvent appelée ≪ modèle de Bouchaud ≫. Nous supposons que ces poids sont des variables aléatoires indépendantes, de même loi non-intégrable (à queue polynomiale), et que d≥5. Nous identifions, pour presque toute réalisation des (τ_x), la limite sous-diffusive de ce modèle. Nous commençons la preuve en exprimant la marche aléatoire comme le changement de temps d’une marche aléatoire en conductances aléatoires. Nous nous consacrons ensuite à montrer que ce changement de temps converge, sous la loi moyennée, vers un subordinateur stable. Nous y parvenons en utilisant un résultat antérieur concernant les propriétés de mélange de l’environnement vu par la marche changée de temps.

It is well-known that the excursions of a one-dimensional diffusion process can be studied by considering a certain Riccati equation associated with the process. We show that, in many cases of interest, the Riccati equation can be solved in terms of an infinite continued fraction. We examine the probabilistic significance of the expansion. To illustrate our results, we discuss some examples of diffusions in deterministic and in random environments.

Il est bien connu que les excursions d’un processus de diffusion peuvent être etudiées en considérant une certaine équation de Riccati associée au processus. On montre que, dans beaucoup de cas intéressants, certaines solutions de cette équation de Riccati peuvent être développées en fraction continue. On examine le contenu probabiliste de ce développement. Ces résultats sont illustrés par quelques exemples de diffusions en milieux aléatoires et déterministes.

(Homogeneous) Markov bridges are (time homogeneous) Markov chains which begin at a given point and end at a given point. The price to pay for preserving the homogeneity is to work with processes with a random life-span.

Bridges are studied both for themselves and for their use in describing the transformations of Markov chains: restriction on a random interval, time reversal, time change, various conditionings comprising the confinement in some part of the state space.

These bridges lead us to look at Markov chains from an unusual point of view: we will work, no longer with only one transition matrix, but with a class of matrices which can be deduced one from the other by Doob transformations. This way of proceeding has the advantage of better describing the “past ↔ future symmetries”: The symmetry of conditional independence (well known) and the symmetry of homogeneity (less well known).

Les ponts markoviens (homogènes) sont des chaines de Markov (homogènes) qui démarrent à un point donné et meurent à un point donné. Pour préserver l’homogénéité, une telle chaine de Markov a nécessairement une durée de vie aléatoire.

Nous étudions les ponts pour eux mêmes et pour leur utilité à décrire les transformations d’une chaine de Markov : restriction à un intervalle aléatoire, renversement temporel, changement de temps, conditonnements variés : notament le confinement dans une partie de l’espace d’état.

Ces ponts nous conduisent à considérer les chaines de Markov d’un point de vue inhabituel : nous ne travaillons plus avec une seule matrice de transition comme à l’accoutumée, mais avec une classe de matrices qui se déduisent les unes des autres par transformation de Doob. Cette méthode a l’avantage de mieux décrire les symétries passé ↔ futur : symétrie de l’indépendance conditionnelle (bien connue) et symétrie de l’homogénéité (moins bien connue).

The aim of this note is to give a straightforward proof of a general version of the Ciesielski–Taylor identity for positive self-similar Markov processes of the spectrally negative type which umbrellas all previously known Ciesielski–Taylor identities within the latter class. The approach makes use of three fundamental features. Firstly, a new transformation which maps a subset of the family of Laplace exponents of spectrally negative Lévy processes into itself. Secondly, some classical features of fluctuation theory for spectrally negative Lévy processes (see, e.g., [In Séminaire de Probabalités XXXVIII (2005) 16–29 Springer]) as well as more recent fluctuation identities for positive self-similar Markov processes found in [Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 45 (2009) 667–684].

L’objectif principal de ce papier est de donner une preuve d’une version générale de l’identité de Ciesielski–Taylor pour la famille de processus positifs auto-similaires markoviens de type spectralement négatif, ce qui nous permet d’unifier l’ensemble des résultats déjà connus sur ce sujet. Notre preuve s’appuie sur trois concepts importants. Tout d’abord, nous introduisons une famille de transformations qui associe l’ensemble des exposants de Laplace de processus de Lévy spectralement négatifs à lui-même. Ensuite, nous combinons des résultats empruntés à la théorie des fluctuations des processus de Lévy spectralement négatifs (voir e.g., [In Séminaire de Probabalités XXXVIII (2005) 16–29 Springer]) et à celles des processus positifs auto-similaires markoviens spectralement négatifs élaborées plus récemment par [Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 45 (2009) 667–684].