Convergence to equilibrium in the free Fokker–Planck equation with a double-well potential

Abstract

We consider the one-dimensional free Fokker–Planck equation

\[\frac{\partial \mu_{t}}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}[\mu_{t}\cdot (\frac{1}{2}V'-H\mu_{t})],\] where $H$ denotes the Hilbert transform and $V$ is a particular double-well quartic potential, namely $V(x)=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{c}{2}x^{2}$, with $c\ge -2$. We prove that the solution $(\mu_{t})_{t\ge 0}$ of this PDE converges in Wasserstein distance of any order $p\ge 1$ to the equilibrium measure $\mu_{V}$ as $t$ goes to infinity. This provides a first result of convergence for this equation in a non-convex setting. The proof involves free probability and complex analysis techniques.

On considère l’équation de Fokker–Planck libre unidimensionnelle

\[\frac{\partial \mu_{t}}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}[\mu_{t}\cdot (\frac{1}{2}V'-H\mu_{t})],\] où $H$ désigne la transformée de Hilbert et $V$ est un potentiel quartique à double puits particulier, à savoir $V(x)=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{c}{2}x^{2}$ avec $c\ge -2$. On démontre que la solution $(\mu_{t})_{t\ge 0}$ de cette EDP converge pour une distance de Wasserstein d’ordre quelconque $p\ge 1$ vers la mesure d’équilibre $\mu_{V}$ quand $t$ tend vers l’infini. Cela fournit un premier résultat de convergence pour cette équation dans un cadre non convexe. La démonstration fait intervenir les probabilités libres et l’analyse complexe.