Continuum percolation in high dimensions

Abstract

Consider a Boolean model $\Sigma$ in $\mathbb{R}^{d}$. The centers are given by a homogeneous Poisson point process with intensity $\lambda$ and the radii of distinct balls are i.i.d. with common distribution $\nu$. The critical covered volume is the proportion of space covered by $\Sigma$ when the intensity $\lambda$ is critical for percolation. We study the asymptotic behaviour, as $d$ tends to infinity, of the critical covered volume. It appears that, in contrast to what happens in the constant radii case studied by Penrose, geometrical dependencies do not always vanish in high dimension.

Considérons un modèle booléen $\Sigma$ dans $\mathbb{R}^{d}$. Les centres des boules sont donnés par un processus ponctuel de Poisson homogène d’intensité $\lambda$, et les rayons par une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi commune $\nu$. Le volume critique recouvert est la proportion de l’espace recouverte par $\Sigma$ quand on prend pour $\lambda$ la valeur critique pour la percolation des boules. Nous étudions le comportement asymptotique, quand la dimension $d$ tend vers $+\infty$, de ce volume critique recouvert. En particulier, nous montrons que contrairement à ce qui se passe dans le cas des boules de rayon constant étudié par Penrose, les dépendances liées à la géométrie ne disparaissent pas toujours en grande dimension.