Fonctions Zêta de Selberg et Surfaces de Géométrie Finie

Abstract

Soit $M$ une surface riemannienne à courbure $-1$ et à bord compact totalement géodésique. Il lui est attachée une fonction zêta $Z_M$, généralisant la fonction que Selberg introduisit pour les surfaces d'aire finie. L'expression de cette fonction en termes d'invariants spectraux (valeurs propres et résonances) établit son prolongement méromorphe au plan complexe. La preuve combine deux types de formules de trace, à la Selberg et à la Birman-Krein, en s'appuyant sur l'analyse du prolongement méromophe des résolvantes de divers laplaciens et des résultats de type diffusion (stationnaire et non stationnaire) qui en résultent.