Spectral analysis of a class of Lévy-type processes and connection with some spin systems

Abstract

We consider a class of Lévy-type processes on which spectral analysis technics can be made to produce optimal results, in particular for the decay rate of their survival probability and for the spectral gap of their ground state transform. This class is defined by killed symmetric Lévy processes under general random time-changes satisfying some integrability assumptions. Our results reveal a connection between those processes and a family of spin systems. This connection, where the free energy and correlations play an essential role, is, up to our knowledge, new, and relates some key properties of objects from the two families. When the underlying Lévy process is a Brownian motion, the associated spin system turns out to have interactions of a rather nice form that are a natural alternative to the quadratic interactions from the lattice Gaussian Free Field. More general Lévy processes give rise to more general interactions in the associated spin systems.

Nous considérons une classe de processus de type Lévy pour laquelle il est possible de mettre en oeuvre des méthodes d’analyse spectrale produisant des résultats optimaux, en particulier pour le taux de décroissance de leur probabilité de survie et pour le trou spectral de leur transformée par l’état fondamental. Cette classe est définie par des processus de Lévy symétriques tués sous des changements de temps aléatoires généraux satisfaisant des hypothèses d’intégralité. Nos résultats révèlent une connection entre ces processus et une famille de systèmes de spins. Cette connection, où l’énergie libre et les corrélations jouent un role essentiel, est à notre connaissance nouvelle et relie des propriétés clés des objets des deux familles. Lorsque le processus de Lévy sous-jacent est un mouvement brownien, le système de spins associé se trouve avoir des interactions d’une forme particulière qui offre une alternative naturelle aux interactions quadratiques du Champ Libre Gaussien discret. Des processus de Lévy plus généraux donnent lieu à des interactions plus générales dans le système de spins associé.