Overlaps, eigenvalue gaps, and pseudospectrum under real Ginibre and absolutely continuous perturbations

Abstract

Let ${\mathit{G}}_{\mathit{n}}$ be an $\mathit{n}\times \mathit{n}$ matrix with real i.i.d. $\mathit{N}(0,1/\mathit{n})$ entries, let A be a real $\mathit{n}\times \mathit{n}$ matrix with $\Vert \mathit{A}\Vert \le 1$, and let $\mathit{\gamma }\in (0,1)$. We show that with probability 0.99, $\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{\gamma }{\mathit{G}}_{\mathit{n}}$ has all of its eigenvalue condition numbers bounded by $\mathit{O}({\mathit{n}}^{5/2}/{\mathit{\gamma }}^{3/2})$ and eigenvector condition number bounded by $\mathit{O}({\mathit{n}}^3/{\mathit{\gamma }}^{3/2})$. Furthermore, we show that for any $\mathit{s}>0$, the probability that $\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{\gamma }{\mathit{G}}_{\mathit{n}}$ has two eigenvalues within distance at most s of each other is $\mathit{O}({\mathit{n}}^4{\mathit{s}}^{2/7}/{\mathit{\gamma }}^{5/2})$. In fact, we show the above statements hold in the more general setting of non-Gaussian perturbations with real, independent, absolutely continuous entries with a finite moment assumption and appropriate normalization.

This extends the previous work (Banks et al. (2019)) which proved an eigenvector condition number bound of $\mathit{O}({\mathit{n}}^{3/2}/\mathit{\gamma })$ for the simpler case of complex i.i.d. Gaussian matrix perturbations. The case of real perturbations introduces several challenges stemming from the weaker anticoncentration properties of real vs. complex random variables. A key ingredient in our proof is new lower tail bounds on the small singular values of the complex shifts $\mathit{z}-(\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{\gamma }{\mathit{G}}_{\mathit{n}})$ which recover the tail behavior of the complex Ginibre ensemble when $\mathrm{\Im }\mathit{z}\ne 0$. This yields sharp control on the area of the pseudospectrum ${\mathrm{\Lambda }}_{\mathit{\epsilon }}(\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{\gamma }{\mathit{G}}_{\mathit{n}})$ in terms of the pseudospectral parameter $\mathit{\epsilon }>0$, which is sufficient to bound the overlaps and eigenvector condition number via a limiting argument.

Soit ${\mathit{G}}_{\mathit{n}}$ une matrice $\mathit{n}\times \mathit{n}$ avec des entrées réelles i.i.d. $\mathit{N}(0,1/\mathit{n})$, soit A une matrice réelle $\mathit{n}\times \mathit{n}$ avec $\Vert \mathit{A}\Vert \le 1$ et $\mathit{\gamma }\in (0,1)$. Nous montrons qu’avec une probabilité de 0,99, $\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{\gamma }{\mathit{G}}_{\mathit{n}}$ a tous ses conditionnements de valeurs propres bornés par $\mathit{O}({\mathit{n}}^{5/2}/{\mathit{\gamma }}^{3/2})$ et son conditionnement de vecteurs propres borné par $\mathit{O}({\mathit{n}}^3/{\mathit{\gamma }}^{3/2})$. De plus, nous montrons que pour tout $\mathit{s}>0$, la probabilité que $\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{\gamma }{\mathit{G}}_{\mathit{n}}$ ait deux valeurs propres à une distance maximale de s l’une de l’autre est de $\mathit{O}({\mathit{n}}^4{\mathit{s}}^{2/7}/{\mathit{\gamma }}^{5/2})$. En fait, nous montrons que les énoncés ci-dessus sont valables dans le cadre plus général des perturbations non gaussiennes avec des entrées réelles, indépendantes et absolument continues, sous l’hypothèse de moment fini et d’une normalisation appropriée.

Ceci étend le travail précédent (Banks et al. (2019)) qui a prouvé une borne du conditionnement de vecteur propre de $\mathit{O}({\mathit{n}}^{3/2}/\mathit{\gamma })$ pour le cas plus simple de perturbations matricielles gaussiennes i.i.d. complexes. Le cas des perturbations réelles introduit plusieurs défis découlant des propriétés d’anti-concentration plus faibles des variables aléatoires réelles par rapport aux variables aléatoires complexes. Un ingrédient clé de notre preuve est une nouvelle borne inférieure de la queue des petites valeurs singulières des déplacements complexes $\mathit{z}-(\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{\gamma }{\mathit{G}}_{\mathit{n}})$, qui caractérise le comportement de la queue de l’ensemble de Ginibre complexe lorsque $\mathrm{\Im }(\mathit{z})\ne 0$. Cela permet un contrôle précis de l’aire du pseudospectre ${\mathrm{\Lambda }}_{\mathit{ϵ}}(\mathit{A}\mathbf{+}\mathit{\gamma }{\mathit{G}}_{\mathit{n}})$ en termes de paramètre pseudospectral $\mathit{ϵ}>0$, ce qui est suffisant pour borner les chevauchements et le conditionnement du vecteur propre grâce à un argument de limite.