Higher order fluctuations of extremal eigenvalues of sparse random matrices

Abstract

We consider extremal eigenvalues of sparse random matrices, a class of random matrices including the adjacency matrices of Erdős–Rényi graphs $\mathcal{G}(\mathit{N},\mathit{p})$. Recently, it was shown that the leading order fluctuations of extremal eigenvalues are given by a single random variable associated with the total degree of the graph (Ann. Probab. 48 (2020) 916–962; Probab. Theory Related Fields 180 (2021) 985–1056). We construct a sequence of random correction terms to capture higher (sub-leading) order fluctuations of extremal eigenvalues in the regime ${\mathit{N}}^{\mathit{ϵ}}<\mathit{p}\mathit{N}<{\mathit{N}}^{1/3-\mathit{ϵ}}$. Using these random correction terms, we prove a local law up to a shifted edge and recover the rigidity of extremal eigenvalues under some corrections for $\mathit{p}\mathit{N}>{\mathit{N}}^{\mathit{ϵ}}$.

Nous considérons les valeurs propres extrêmes des matrices aléatoires éparses, une classe de matrices aléatoires comprenant les matrices d’adjacence des graphes d’Erdős–Rényi $\mathcal{G}(\mathit{N},\mathit{p})$. Récemment, il a été démontré que les fluctuations d’ordre principal des valeurs propres extrêmes sont données par une seule variable aléatoire associée au degré total du graphe (Ann. Probab. 48 (2020) 916–962 ; Probab. Theory Related Fields 180 (2021) 985–1056). Nous construisons une suite de termes de correction aléatoires pour capter les fluctuations d’ordre supérieur (secondaire) des valeurs propres extrêmes dans le régime ${\mathit{N}}^{\mathit{ϵ}}<\mathit{p}\mathit{N}<{\mathit{N}}^{1/3-\mathit{ϵ}}$. En utilisant ces termes de correction aléatoires, nous prouvons une loi locale jusqu’à un bord décalé et retrouvons la rigidité des valeurs propres extrêmes sous certaines corrections pour $\mathit{p}\mathit{N}>{\mathit{N}}^{\mathit{ϵ}}$.