From flip processes to dynamical systems on graphons

Abstract

We introduce a class of random graph processes, which we call flip processes. Each such process is given by a function $\mathcal{R}:{\mathcal{H}}_{\mathit{k}}\to {\mathcal{H}}_{\mathit{k}}$ from all labeled k-vertex graphs into itself (k is fixed). The process starts with a given n-vertex graph ${\mathit{G}}_0$. In each step, the graph ${\mathit{G}}_{\mathit{i}}$ is obtained by sampling k random vertices ${\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_{\mathit{k}}$ of ${\mathit{G}}_{\mathit{i}-1}$ and replacing the induced graph $\mathit{F}:={\mathit{G}}_{\mathit{i}-1}[{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_{\mathit{k}}]$ by $\mathcal{R}(\mathit{F})$. Actually, our definition is more general, in that $\mathcal{R}(\mathit{F})$ is a probability distribution on ${\mathcal{H}}_{\mathit{k}}$, thus allowing randomised replacements.

Given a flip process $\mathcal{R}$, we construct time-indexed trajectories $\mathrm{\Phi }:{\mathcal{W}}_0\times [0,\infty )\to {\mathcal{W}}_0$ in the space of graphons. We prove that for any $\mathit{T}>0$ starting with a large n-vertex graph ${\mathit{G}}_0$ which is close to a graphon ${\mathit{W}}_0$, with high probability the flip process stays in a thin sausage around ${(\mathrm{\Phi }({\mathit{W}}_0,\mathit{t}))}_{\mathit{t}=0}^{\mathit{T}}$ (after rescaling the time by ${\mathit{n}}^2$).

Among others, we study continuity properties of these trajectories with respect to time and initial graphon, existence and stability of fixed points and speed of convergence. We give an example of a flip process with a periodic trajectory.

Nous introduisons une classe de processus aléatoires sur graphes, que nous appelons processus de retournement (flip processes). Chacun de ces processus est donné par une règle qui est une fonction $\mathcal{R}:{\mathcal{H}}_{\mathit{k}}\to {\mathcal{H}}_{\mathit{k}}$ de tous les graphes à k sommets étiquetés vers lui-même (k est fixe). Le processus commence avec un graphe ${\mathit{G}}_0$ à n sommets. À chaque étape, le graphe ${\mathit{G}}_{\mathit{i}}$ est obtenu en échantillonnant k sommets aléatoires ${\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_{\mathit{k}}$ de ${\mathit{G}}_{\mathit{i}-1}$ et en remplaçant le graphe induit $\mathit{F}:={\mathit{G}}_{\mathit{i}-1}[{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_{\mathit{k}}]$ par $\mathcal{R}(\mathit{F})$. Cette classe contient plusieurs processus connus comme le graphe aléatoire Erdős–Rényi et le processus de suppression de triangles. En fait, notre définition est plus générale, dans le sens que $\mathcal{R}(\mathit{F})$ est une distribution de probabilité sur ${\mathcal{H}}_{\mathit{k}}$, permettant ainsi des remplacements aléatoires.

Étant donné un processus de retournement de règle $\mathcal{R}$, on construit des trajectoires indexées en temps $\mathrm{\Phi }:{\mathcal{W}}_0\times [0,\infty )\to {\mathcal{W}}_0$ dans l’espace des graphons. Nous prouvons que pour chaque $\mathit{T}>0$ et chaque (grand) graphe fini ${\mathit{G}}_0$ qui est proche d’un graphon ${\mathit{W}}_0$ dans la norme de coupe, avec une forte probabilité le processus de retournement initié à ${\mathit{G}}_0$ restera dans une fine région autour de la trajectoire ${(\mathrm{\Phi }({\mathit{W}}_0,\mathit{t}))}_{\mathit{t}=0}^{\mathit{T}}$ (après remise à l’échelle du temps par le carré de l’ordre du graphe).

Ces trajectoires de graphons sont ensuite étudiées du point de vue des systèmes dynamiques. Entre autres sujets, nous étudions (i) les propriétés de continuité de ces trajectoires par rapport au temps et au graphon initial, (ii) l’existence et la stabilité des points fixes et (iii) la vitesse de convergence (lorsque la limite de temps infinie existe). Nous donnons un exemple de processus de retournement avec une trajectoire périodique.