Extremal independence in discrete random systems

Abstract

Let $\mathit{X}(\mathit{n})\in {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ be a sequence of random vectors, where $\mathit{n}\in \mathbb{N}$ and $\mathit{d}=\mathit{d}(\mathit{n})$. Under certain weakly dependence conditions, we prove that the distribution of the maximal component of $\mathit{X}$ and the distribution of the maximum of their independent copies are asymptotically equivalent. Our result on extremal independence relies on new lower and upper bounds for the probability that none of a given finite set of events occurs. As applications, we obtain the distribution of various extremal characteristics of random discrete structures such as maximum codegree in binomial random hypergraphs and the maximum number of cliques sharing a given vertex in binomial random graphs. We also generalise Berman-type conditions for a sequence of Gaussian random vectors to possess the extremal independence property.

Soit $\mathit{X}(\mathit{n})\in {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ une suite de vecteurs aléatoires, où $\mathit{n}\in \mathbb{N}$ et $\mathit{d}=\mathit{d}(\mathit{n})$. Sous certaines conditions de faible dépendance, nous prouvons que la loi de la composante maximale de $\mathit{X}$ et la loi du maximum de leurs copies indépendantes sont asymptotiquement équivalents. Notre résultat sur l’indépendance extrémale repose sur de nouvelles bornes inférieures et supérieures pour la probabilité qu’aucun événement d’un ensemble fini donné ne se produise. Comme applications, nous obtenons la distribution de diverses caractéristiques extrémales de structures discrètes aléatoires telles que le codegré maximum dans les hypergraphes aléatoires binomiaux et le nombre maximum de cliques partageant un sommet donné dans les graphes aléatoires binomiaux. Nous généralisons également les conditions de type Berman pour qu’une séquence de vecteurs aléatoires gaussiens possède la propriété d’indépendance extrémale.