Roughness of geodesics in Liouville quantum gravity

Abstract

The metric associated with the Liouville quantum gravity (LQG) surface has been constructed through a series of recent works and several properties of its associated geodesics have been studied. In the current article we confirm the folklore conjecture that the Euclidean Hausdorff dimension of LQG geodesics is strictly greater than 1 for all values of the so-called Liouville first passage percolation (LFPP) parameter ξ. We deduce this from a general criterion due to Aizenman and Burchard (Duke Math. J. 99 (1999), 419–453) which in our case amounts to near-geometric bounds on the probabilities of certain crossing events for LQG geodesics in the number of crossings. We obtain such bounds using the axiomatic characterization of the LQG metric after proving a special regularity property for the Gaussian free field (GFF). We also prove an analogous result for the LFPP geodesics.

La métrique associée à la surface de gravité quantique de Liouville (LQG) a été construite grâce à une série de travaux récents et plusieurs propriétés de ses géodésiques associées ont été étudiées. Dans cet article nous confirmons la conjecture rentrée dans le folklore selon laquelle la dimension de Hausdorff euclidienne des géodésiques LQG est strictement supérieure à 1 pour toutes les valeurs du paramètre ξ de percolation de premier passage de Liouville (LFPP). Nous déduisons cela d’un critère général dû à Aizenman et Burchard (Duke Math. J. 99 (1999), 419–453) qui dans notre cas revient à des bornes exponentielles étirées sur les probabilités de certains événements de croisement pour les géodésiques LQG, par rapport au nombre de croisements. Nous obtenons de telles bornes en utilisant la caractérisation axiomatique de la métrique LQG après avoir prouvé une propriété spéciale de régularité pour le champ libre gaussien (GFF). Nous prouvons également un résultat analogue pour les géodésiques LFPP.