Central Limit Theorem for the number of real roots of random orthogonal polynomials

Abstract

We study the number of real roots of a wide class of random linear combinations of orthogonal polynomials with Gaussian coefficients. The orthogonal polynomials in our model are defined by a deterministic measure with compact support on the real line. Using the method of Wiener Chaos, we show that the fluctuation for the number of real roots in the bulk is asymptotically Gaussian, by proving that this number of roots in the intervals inside the support of the orthogonality measure obeys the standard Central Limit Theorem. Wiener Chaos expansions were previously used to prove the CLT for classical ensembles of random trigonometric polynomials, and that approach is generalized in our paper via careful analysis of the correlations by using asymptotics for the reproducing kernels of orthogonal polynomials. A new interesting feature found on this path is that the local correlations for the number of real roots of our random orthogonal polynomials are different. In fact, our local correlations depend on the potential theoretic equilibrium measure for the support of the orthogonality measure.

Nous étudions le nombre de racines réelles d’une large classe de combinaisons linéaires aléatoires de polynômes orthogonaux à coefficients gaussiens. Les polynômes orthogonaux de notre modèle sont définis par une mesure déterministe à support compact sur la droite réelle. En utilisant la méthode du chaos de Wiener, nous montrons que la fluctuation du nombre de racines réelles dans le volume est asymptotiquement gaussienne, en prouvant que ce nombre de racines dans les intervalles à l’intérieur du support de la mesure d’orthogonalité obéit au théorème central limite standard. Les expansions en chaos de Wiener étaient auparavant utilisées pour prouver le TCL pour des ensembles classiques de polynômes trigonométriques aléatoires, et cette approche est généralisée dans notre article via une analyse minutieuse des corrélations en utilisant des asymptotiques pour les noyaux reproduisants de polynômes orthogonaux. Une nouvelle caractéristique intéressante trouvée sur ce chemin est que les corrélations locales pour le nombre de racines réelles de nos polynômes orthogonaux aléatoires sont différentes. En fait, nos corrélations locales dépendent de la mesure d’équilibre de la théorie du potentielle pour le support de la mesure d’orthogonalité.