Multi-colour competition with reinforcement

Abstract

We study a system of interacting urns where balls of different colour/type compete for their survival, and annihilate upon contact. For competition between two types, the underlying graph (finite and connected), determining the interaction between the urns, is known to be irrelevant for the possibility of coexistence, whereas for $\mathit{K}\ge 3$ types the structure of the graph does affect the possibility of coexistence. We show that when the underlying graph is a cycle, competition between $\mathit{K}\ge 3$ types almost surely has a single survivor, thus establishing a conjecture of Griffiths, Janson, Morris and the first author. Along the way, we give a detailed description of an auto-annihilative process on the cycle, which can be perceived as an expression of the geometry of a Möbius strip in a discrete setting.

Nous étudions un système d’urnes en interaction où des boules de différentes couleurs/types sont en compétition pour leur survie et s’annihilent lorsqu’elles entrent en contact. Dans le cas d’une compétition entre deux types, il est connu que le graphe sous-jacent (fini et connexe) qui détermine l’interaction entre les urnes n’influe pas sur la possibilité de coexistence, tandis que pour $\mathit{K}\ge 3$ types, la structure du graphe a un effet sur la possibilité de coexistence. Nous montrons que lorsque le graphe sous-jacent est un cycle, la compétition entre $\mathit{K}\ge 3$ types a presque sûrement un seul survivant, établissant ainsi une conjecture de Griffiths, Janson, Morris et du premier auteur. Au passage, nous donnons une description détaillée d’un processus d’auto-annihilation sur le cycle, qui peut être perçu comme une expression de la géométrie d’une bande de Möbius dans un cadre discret.