Gibbs partitions: A comprehensive phase diagram

Abstract

We study Gibbs partition models, also known as composition schemes. Our main results comprehensively describe their phase diagram, including a phase transition from the convergent case described in Stufler (Random Structures Algorithms 53 (2018) 537–558) to a new dense regime characterized by a linear number of components with fluctuations of smaller order quantified by an α-stable law for $1<\mathit{\alpha }\le 2$. We prove a functional scaling limit for a process whose jumps correspond to the component sizes and discuss applications to extremal component sizes. At the transition we observe a mixture of the two asymptotic shapes. We also treat extended composition schemes and prove a local limit theorem in a dilute regime with the limiting law being related to an α-stable law for $0<\mathit{\alpha }<1$. We describe the asymptotic size of the largest components via a point process limit.

Nous étudions les modèles de partition de Gibbs, également connus sous le nom de schémas de composition. Nos principaux résultats décrivent de manière exhaustive leur diagramme de phase, y compris une transition de phase du cas convergent décrit dans Stufler (Random Structures Algorithms 53 (2018) 537–558) à un nouveau régime dense caractérisé par un nombre linéaire de composants avec des fluctuations d’ordre inférieur quantifiées par une loi α-stable pour $1<\mathit{\alpha }\le 2$. Nous prouvons une limite d’échelle fonctionnelle pour un processus dont les sauts correspondent aux tailles des composants et discutons des applications aux tailles extrêmes des composants. À la transition, nous observons un mélange des deux formes asymptotiques. Nous traitons également des schémas de composition étendus et prouvons un théorème de limite locale dans un régime dilué, la loi limite étant liée à une loi α-stable pour $0<\mathit{\alpha }<1$. Nous décrivons la taille asymptotique des plus grandes composantes via un processus ponctuel limite.