The large-time and vanishing-noise limits for entropy production in nondegenerate diffusions

Abstract

We investigate the behaviour of a family of entropy production functionals associated to stochastic differential equations of the form

$$\mathrm{d}{\mathit{X}}_{\mathit{s}}=-\nabla \mathit{V}({\mathit{X}}_{\mathit{s}})\mathrm{d}\mathit{s}\mathbf{+}\mathit{b}({\mathit{X}}_{\mathit{s}})\mathrm{d}\mathit{s}\mathbf{+}\sqrt{2\mathit{ϵ}}\mathrm{d}{\mathit{W}}_{\mathit{s}},$$

where b is a globally Lipschitz nonconservative vector field keeping the system out of equilibrium, with emphasis on the large-time limit and then the vanishing-noise limit. Different members of the family correspond to different choices of boundary terms. Our analysis yields a law of large numbers and a local large deviation principle which does not depend on the choice of boundary terms and which exhibits a Gallavotti–Cohen symmetry. We use techniques from the theory of semigroups and from semiclassical analysis to reduce the description of the asymptotic behaviour of the functional to the study of the leading eigenvalue of a quadratic approximation of a deformation of the infinitesimal generator near critical points of V.

Nous étudions le comportement d’une famille de fonctionnelles de production d’entropie associée aux équations différentielles stochastiques de la forme

$$\mathrm{d}{\mathit{X}}_{\mathit{s}}=-\nabla \mathit{V}({\mathit{X}}_{\mathit{s}})\mathrm{d}\mathit{s}\mathbf{+}\mathit{b}({\mathit{X}}_{\mathit{s}})\mathrm{d}\mathit{s}\mathbf{+}\sqrt{2\mathit{ϵ}}\mathrm{d}{\mathit{W}}_{\mathit{s}},$$

où b est un champ vectoriel Lipschitzien non conservatif qui maintient le système hors équilibre, en mettant l’accent sur la limite en temps long et la limite du bruit disparaissant, dans cet ordre. Les différents membres de la famille correspondent à des choix différents de termes de bords. Notre analyse donne une loi des grands nombres et un principe local de grandes déviations qui ne dépend pas du choix des termes de bords et qui présente une symétrie de Gallavotti–Cohen. Nous utilisons des techniques issues de la théorie des semigroupes et de l’analyse semi-classique pour réduire la description du comportement asymptotique de la fonctionnelle à l’étude à celle de la valeur propre principale d’une approximation quadratique d’une déformation du générateur infinitésimal près des points critiques de V.