On the limiting law of line ensembles of Brownian polymers with geometric area tilts

Abstract

We study the line ensembles of non-crossing Brownian bridges above a hard wall, each tilted by the area of the region below it with geometrically growing pre-factors. This model, which mimics the level lines of the $(2\mathbf{+}1)$d sos model above a hard wall, was studied in two works from 2019 by Caputo, Ioffe and Wachtel. In those works, the tightness of the law of the top k paths, for any fixed k, was established under either zero or free boundary conditions, which in the former setting implied the existence of a limit via a monotonicity argument. Here we address the open problem of existence of a limit under free boundary conditions: we prove that as the interval length, followed by the number of paths, go to ∞, the top k paths converge to the same limit as in the zero boundary case, as conjectured by Caputo, Ioffe and Wachtel.

Nous étudions l’ensemble de lignes déterminé par des mouvements Browniens non-intersectant au-dessus d’un mur solide. Ce modèle, qui imite les lignes de niveaux du modèle $(2\mathbf{+}1)$d sos au-dessus d’un mur, a été étudié en 2019 par Caputo, Ioffe et Wachtel. Dans ces travaux, la tension de la loi des k lignes hautes, pour chaque k fixe, a été obtenue sous des conditions nulles au bord ou des conditions libres au bord. Dans le premier cas, ca implique l’existence d’une limite par un argument de monotonicité. Nous abordons ici le problème ouvert d’existence d’une limite sous des conditions libres au bord : nous démontrons que quand la longueur de l’intervalle, suivi par le nombre de lignes, tend vers l’infinie, les k lignes hautes convergent vers la même limite que dans le cas de conditions nulles au bord, comme conjecturé par Caputo, Ioffe et Wachtel.