Maxima of a random model of the Riemann zeta function over intervals of varying length

Abstract

We consider a model of the Riemann zeta function on the critical axis and study its maximum over intervals of length ${(log\mathit{T})}^{\mathit{\theta }}$, where θ is either fixed or tends to zero at a suitable rate. It is shown that the deterministic level of the maximum interpolates smoothly between the ones of log-correlated variables and of i.i.d. random variables, exhibiting a smooth transition ‘from $\frac{3}{4}$ to $\frac{1}{4}$’ in the second order. This provides a natural context where extreme value statistics of log-correlated variables with time-dependent variance and rate occur. A key ingredient of the proof is a precise upper tail tightness estimate for the maximum of the model on intervals of size one, that includes a Gaussian correction. This correction is expected to be present for the Riemann zeta function and pertains to the question of the correct order of the maximum of the zeta function in large intervals.

Nous considérons un modèle aléatoire des valeurs de la fonction zêta de Riemann sur sa droite critique pour en étudier le maximum sur des intervalles de longueur ${(log\mathit{T})}^{\mathit{\theta }}$, où θ est soit fixé, soit tend vers zéro à une vitesse spécifiquement calibrée. Nous établissons que la valeur déterministe attendue de ce maximum passe continûment de celle obtenue pour des variables log-corrélées à celle de variables i.i.d., effectuant une transition ‘de 3/4 à 1/4’ au second ordre. Il s’agit d’un contexte naturel pour l’étude des valeurs extrêmes de variables log-corrélées avec un taux et une variance variables en temps. Un ingrédient-clef de notre preuve est une estimation fine de la queue de distribution du maximum sur des intervalles de longueur unité, qui inclut une correction de type gaussien. Un telle correction est également escomptée dans les statistiques du maximum de la véritable fonction zêta sur des intervalles aléatoires de taille unité, ce qui est lié à la question analogue du maximum de la fonction zêta sur des intervalles plus longs de la droite critique.