Asymptotic enumeration and limit laws for multisets: The subexponential case

Abstract

For a given combinatorial class $\mathcal{C}$ we study the class $\mathcal{G}$ = Mset($\mathcal{C}$) satisfying the multiset construction, that is, any object in $\mathcal{G}$ is uniquely determined by a set of $\mathcal{C}$-objects paired with their multiplicities. For example, Mset($\mathbb{N}$) is (isomorphic to) the class of number partitions of positive integers, a prominent and well-studied case. The multiset construction appears naturally in the study of unlabelled objects, for example graphs or various structures related to number partitions. Our main result establishes the asymptotic size of the set ${\mathcal{G}}_{\mathit{n},\mathit{N}}$ that contains all multisets in $\mathcal{G}$ having size n and being comprised of N objects from $\mathcal{C}$, as n and N tend to infinity and when the counting sequence of $\mathcal{C}$ is governed by subexponential growth. Moreover, we study the component distribution of random objects from ${\mathcal{G}}_{\mathit{n},\mathit{N}}$ and we discover a phenomenon that we baptise extreme condensation: taking away the largest component as well as all the components of the smallest possible size, we are left with an object which converges in distribution as $\mathit{n},\mathit{N}\to \infty$. The distribution of the limiting object is also retrieved. Moreover and rather surprisingly, in stark contrast to analogous results for labelled objects, the results here hold uniformly in N.

Étant donnée une classe combinatoire $\mathcal{C}$, nous étudions la classe $\mathcal{G}$ = Mset($\mathcal{C}$) satisfaisant la construction multiset, c’est-à-dire que tout objet dans $\mathcal{G}$ est déterminé de manière unique par un ensemble d’objets $\mathcal{C}$ appariés avec leurs multiplicités. Par exemple, Mset($\mathbb{N}$) est (isomorphe à) la classe des partitions de nombres entiers positifs, un cas important et bien étudié. La construction multiset apparaît naturellement dans l’étude des objets non étiquetés, par exemple les graphes ou diverses structures liées aux partitions de nombres. Notre résultat principal établit la taille asymptotique de l’ensemble ${\mathcal{G}}_{\mathit{n},\mathit{N}}$ qui contient tous les multisets dans $\mathcal{G}$ ayant une taille n et étant composés de N objets de $\mathcal{C}$, quand n et N tendent vers l’infini et lorsque la suite de comptage de $\mathcal{C}$ est gouvernée par une croissance sous-exponentielle. De plus, nous étudions la loi des composantes des objets aléatoires de ${\mathcal{G}}_{\mathit{n},\mathit{N}}$ et nous découvrons un phénomène que nous baptisons condensation extrême : en enlevant la plus grande composante ainsi que toutes les composantes de la plus petite taille possible, on se retrouve avec un objet dont la loi converge quand $\mathit{n},\mathit{N}\to \infty$. On récupère également la loi de l’objet limite. De plus, et de manière assez surprenante, en contraste saisissant avec les résultats analogues pour les objets étiquetés, les résultats obtenus ici sont vrais uniformément en N.