Time reversal of diffusion processes under a finite entropy condition

Abstract

Motivated by entropic optimal transport, time reversal of diffusion processes is revisited. An integration by parts formula is derived for the carré du champ of a Markov process in an abstract space. It leads to a time reversal formula for a wide class of diffusion processes in ${\mathbb{R}}^{\mathit{n}}$ possibly with singular drifts, extending the already known results in this domain.

The proof of the integration by parts formula relies on stochastic derivatives. This formula is applied to compute the semimartingale characteristics of the time-reversed ${\mathit{P}}^{\ast }$ of a diffusion measure P provided that the relative entropy of P with respect to another diffusion measure R is finite, and the semimartingale characteristics of the time-reversed ${\mathit{R}}^{\ast }$ are known (for instance when the reference path measure R is reversible).

As an illustration of the robustness of this method, the integration by parts formula is also employed to derive a time-reversal formula for a random walk on a graph.

L’étude du retournement du temps des processus de diffusion est reprise en vue d’applications au transport entropique optimal. On prouve une formule d’intégration par parties pour le carré du champ d’un processus de Markov dans un espace abstrait qui nous permet d’obtenir une formule de retournement du temps pour une grande classe de processus de diffusion à valeurs dans ${\mathbb{R}}^{\mathit{n}}$ dont les coefficients de dérive peuvent présenter des singularités, étendant en cela les résultats antérieurs sur le sujet.

La preuve de la formule d’intégration par parties se fait à l’aide de dérivées stochastiques. Cette formule nous permet de calculer les caractéristiques de la semi-martingale de loi ${\mathit{P}}^{\ast }$ retournée temporelle de la loi P d’une diffusion, sous l’hypothèse que l’entropie relative de P par rapport à une mesure de chemins R de référence dont on connait les caractéristiques de la semi-martingale de loi retournée ${\mathit{R}}^{\ast }$, par exemple lorsque R est réversible.

Pour illustrer la flexibilité de cette méthode, la formule d’intégration par parties est aussi utilisée pour prouver une formule de retournement du temps pour des marches aléatoires sur des graphes.