Reflecting Brownian motion in generalized parabolic domains: Explosion and superdiffusivity

Abstract

For a multidimensional driftless diffusion in an unbounded, smooth, sub-linear generalized parabolic domain, with oblique reflection from the boundary, we give natural conditions under which either explosion occurs, if the domain narrows sufficiently fast at infinity, or else there is superdiffusive transience, which we quantify with a strong law of large numbers. For example, in the case of a planar domain, explosion occurs if and only if the area of the domain is finite. We develop and apply novel semimartingale criteria for studying explosions and establishing strong laws, which are of independent interest.

Pour une diffusion multidimensionnelle sans dérive dans un domaine parabolique généralisé non borné, lisse, sous-linéaire, avec réflexion oblique à partir de la frontière, on donne des conditions naturelles dans lesquelles soit l’explosion se produit, si le domaine se rétrécit suffisamment vite envers l’infini, soit il y a la transience superdiffusive, que nous quantifions avec une loi forte des grands nombres. Par exemple, dans le cas d’un domaine planaire, l’explosion se produit si et seulement si la surface du domaine est finie. Nous développons et appliquons de nouveaux critères de semimartingale pour étudier les explosions et établir des lois fortes, qui présentent un intérêt indépendant.