Doubly stochastic Yule cascades (part II): The explosion problem in the non-reversible case

Abstract

We analyze the explosion problem for a class of stochastic models introduced in (Dascaliuc et al. (2021)), referred to as doubly stochastic Yule cascades. These models arise naturally in the construction of solutions to evolutionary PDEs as well as in purely probabilistic first passage percolation phenomena having a Markov-type statistical dependence, new for this context. Using cut-set arguments and a greedy algorithm, we respectively establish criteria for non-explosion and explosion without requiring the time-reversibility of the underlying branching Markov chain (a condition required in Dascaliuc et al. 2021). Notable applications include the explosion of the self-similar cascade of the Navier–Stokes equations in dimension $\mathit{d}=3$ and non-explosion in dimensions $\mathit{d}\ge 12$.

Nous étudions le problème d’explosion pour une classe de modèles stochastiques introduites dans (Dascaliuc et al. (2021)), appelées cascades de Yule doublement stochastiques. Ces modèles interviennent naturellement dans la construction de solutions des équations aux dérivées partielles évolutives ainsi que dans les phénomènes de percolation de premier passage purement probabilistes ayant une dépendance statistique de type Markov, nouvelle dans ce contexte. À l’aide d’arguments d’ensembles séparateurs et d’algorithme glouton, nous établissons respectivement des critères de non-explosion et d’explosion sans exiger la réversibilité temporelle de la chaîne de Markov branchante sous-jacente (une condition requise dans Dascaliuc et al. 2021). Les applications notables incluent l’explosion de la cascade auto-similaire des équations de Navier–Stokes en dimension $\mathit{d}=3$ et la non-explosion en dimension $\mathit{d}\ge 12$.