Local and global comparisons of the Airy difference profile to Brownian local time

Abstract

There has recently been much activity within the Kardar–Parisi–Zhang universality class spurred by the construction of the canonical limiting object, the parabolic Airy sheet $\mathcal{S}:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ (Dauvergne, Ortmann and Virág (2018)). The parabolic Airy sheet provides a coupling of parabolic ${\mathrm{Airy}}_2$ processes – a universal limiting geodesic weight profile in planar last passage percolation models – and a natural goal is to understand this coupling. Geodesic geometry suggests that the difference of two parabolic ${\mathrm{Airy}}_2$ processes, i.e., a difference profile, encodes important structural information. This difference profile $\mathcal{D}$, given by $\mathbb{R}\to \mathbb{R}:\mathit{x}\mapsto \mathcal{S}(1,\mathit{x})-\mathcal{S}(-1,\mathit{x})$, was first studied by Basu, Ganguly and Hammond (2019), who showed that it is monotone and almost everywhere constant, with its points of non-constancy forming a set of Hausdorff dimension $1/2$. Noticing that this is also the Hausdorff dimension of the zero set of Brownian motion, we adopt a different approach. Establishing previously inaccessible fractal structure of $\mathcal{D}$, we prove, on a global scale, that $\mathcal{D}$ is absolutely continuous on compact sets to Brownian local time (of rate four) in the sense of increments, which also yields the main result of Basu, Ganguly and Hammond (2019) as a simple corollary. Further, on a local scale, we explicitly obtain Brownian local time of rate four as a local limit of $\mathcal{D}$ at a point of increase, picked by a number of methods, including at a typical point sampled according to the distribution function $\mathcal{D}$. Our arguments rely on the representation of $\mathcal{S}$ in terms of a last passage problem through the parabolic Airy line ensemble and an understanding of geodesic geometry at deterministic and random times.

Il y a eu récemment beaucoup d’activité au sein de la classe d’universalité de Kardar–Parisi–Zhang stimulée par la construction de l’objet limite canonique, le drap d’Airy parabolique $\mathcal{S}:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ (Dauvergne, Ortmann et Virág (2018)). Le drap d’Airy parabolique fournit un couplage de processus ${\mathrm{Airy}}_2$ paraboliques – un profil géodésique limite universel dans les modèles de percolation planaires au dernier passage – et un objectif naturel est de comprendre ce couplage. La géométrie géodésique suggère que la différence de deux processus ${\mathrm{Airy}}_2$ paraboliques, c’est-à-dire un profil de la différence, encode des informations structurelles importantes. Ce profil de différence $\mathcal{D}$, donné par $\mathbb{R}\to \mathbb{R}:\mathit{x}\mapsto \mathcal{S}(1,\mathit{x})-\mathcal{S}(-1,\mathit{x})$, a d’abord été étudié par Basu, Ganguly et Hammond (2019), qui ont montré qu’il est monotone et presque partout constant, avec ses points de non-constance formant un ensemble de dimension Hausdorff $1/2$. Constatant qu’il s’agit également de la dimension de Hausdorff de l’ensemble des zéros du mouvement brownien, nous adoptons une approche différente. En établissant une structure fractale jusqu’alors inaccessible de $\mathcal{D}$, nous prouvons, à l’échelle globale, que $\mathcal{D}$ est absolument continu sur des ensembles compacts à temps local brownien (de taux quatre) au sens des accroissements, ce qui donne également le résultat principal de Basu, Ganguly et Hammond (2019) comme un simple corollaire. De plus, à l’échelle locale, nous obtenons explicitement le temps local brownien de taux quatre comme limite locale de $\mathcal{D}$ en un point d’accroissement, choisi par un certain nombre de méthodes, y compris en un point typique échantillonné selon la fonction de distribution $\mathcal{D}$. Nos arguments s’appuient sur la représentation de $\mathcal{S}$ en termes d’un problème de dernier passage au moyen de l’ensemble parabolique de lignes d’Airy et sur une compréhension de la géométrie géodésique en des temps déterministes et aléatoires.