Dissipation in parabolic SPDEs II: Oscillation and decay of the solution

Abstract

We consider a stochastic heat equation of the type, ${\partial }_{\mathit{t}}\mathit{u}={\partial }_{\mathit{x}}^2\mathit{u}+\mathit{\sigma }(\mathit{u})\dot{\mathit{W}}$ on $(0,\infty )\times [-1,1]$ with periodic boundary conditions and non-degenerate positive initial data, where $\mathit{\sigma }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is a non-random Lipschitz continuous function and $\dot{\mathit{W}}$ denotes space-time white noise. If additionally $\mathit{\sigma }(0)=0$ then the solution is known to be strictly positive; see Mueller (Stoch. Stoch. Rep. 37 (1991) 225–245). In that case, we prove that the oscillation of the logarithm of the solution decays sublinearly as time tends to infinity. Among other things, it follows that, with probability one, all limit points of ${\mathit{t}}^{-1}{sup}_{\mathit{x}\in [-1,1]}log\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ and ${\mathit{t}}^{-1}{inf}_{\mathit{x}\in [-1,1]}log\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ must coincide. As a consequence of this fact, we prove that, when σ is linear, there is a.s. only one such limit point and hence the entire path decays almost surely at an exponential rate.

On considère une équation de la chaleur stochastique du type, ${\partial }_{\mathit{t}}\mathit{u}={\partial }_{\mathit{x}}^2\mathit{u}+\mathit{\sigma }(\mathit{u})\dot{\mathit{W}}$ sur $(0,\infty )\times [-1,1]$ avec des conditions aux limites périodiques et des données initiales positives non dégénérées, où $\mathit{\sigma }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est une fonction continue lipschitzienne non aléatoire et $\dot{\mathit{W}}$ désigne un bruit blanc spatio-temporel. Si en plus $\mathit{\sigma }(0)=0$, alors la solution est strictement positive, voir Mueller (Stoch. Stoch. Rep. 37 (1991) 225–245). Dans ce cas, nous prouvons que l’oscillation du logarithme de la solution décroît de manière souslinéaire lorsque le temps tend vers l’infini. Entre autres, il s’ensuit que, avec probabilité un, tous les points limites de ${\mathit{t}}^{-1}{sup}_{\mathit{x}\in [-1,1]}log\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ et ${\mathit{t}}^{-1}{inf}_{\mathit{x}\in [-1,1]}log\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})$ doivent coïncider. En conséquence de ce fait, nous prouvons que, quand σ est linéaire, il n’y a presque sûrement qu’un seul point limite. Par conséquent, toute la trajectoire décroît exponentiellement presque sûrement.