Recurrence and transience of random difference equations in the critical case

Abstract

For i.i.d. random vectors $({\mathit{M}}_1,{\mathit{Q}}_1),({\mathit{M}}_2,{\mathit{Q}}_2),\dots$ such that $\mathit{M}>0$ a.s., $\mathit{Q}\ge 0$ a.s. and $\mathbb{P}(\mathit{Q}=0)<1$, the random difference equation ${\mathit{X}}_{\mathit{n}}={\mathit{M}}_{\mathit{n}}{\mathit{X}}_{\mathit{n}-1}+{\mathit{Q}}_{\mathit{n}}$, $\mathit{n}=1,2,\dots$, is studied in the critical case when the random walk with increments $log{\mathit{M}}_1$, $log{\mathit{M}}_2,\dots$ is oscillating. We provide conditions for the null recurrence and transience of the Markov chain ${({\mathit{X}}_{\mathit{n}})}_{\mathit{n}\ge 0}$ by inter alia drawing on techniques developed in the related article (J. Appl. Probab. 54 (2017) 1089–1110) for another case exhibiting the null recurrence/transience dichotomy.

Étant donnés des vecteurs aléatoires i.i.d. $({\mathit{M}}_1,{\mathit{Q}}_1),({\mathit{M}}_2,{\mathit{Q}}_2),\dots$ tels que $\mathit{M}>0$ et $\mathit{Q}\ge 0$ p.s., et $\mathbb{P}(\mathit{Q}=0)<1$, nous étudions l’équation aux différences aléatoires ${\mathit{X}}_{\mathit{n}}={\mathit{M}}_{\mathit{n}}{\mathit{X}}_{\mathit{n}-1}+{\mathit{Q}}_{\mathit{n}}$, $\mathit{n}=1,2,\dots$ dans le cas critique, lorsque la marche aléatoire avec incréments $log{\mathit{M}}_1$, $log{\mathit{M}}_2,\dots$ est oscillante. Nous obtenons des conditions pour la récurrence nulle et la transience de la chaîne de Markov ${({\mathit{X}}_{\mathit{n}})}_{\mathit{n}\ge 0}$, en utilisant notamment des techniques développées dans l’article lié (J. Appl. Probab. 54 (2017) 1089–1110), qui traite d’un autre cas présentant la dichotomie récurrence nulle/transience.