Extinction times of multitype continuous-state branching processes

Abstract

A multitype continuous-state branching process (MCSBP) $\mathrm{Z}={({\mathrm{Z}}_{\mathit{t}})}_{\mathit{t}\ge 0}$, is a Markov process with values in ${[0,\infty )}^{\mathit{d}}$ that satisfies the branching property. Its distribution is characterised by its branching mechanism, that is the data of d Laplace exponents of ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$-valued spectrally positive Lévy processes, each one having $\mathit{d}-1$ increasing components. We give an expression of the probability for a MCSBP to tend to 0 at infinity in term of its branching mechanism. Then we prove that this extinction holds at a finite time if and only if some condition bearing on the branching mechanism holds. This condition extends Grey’s condition that is well known for $\mathit{d}=1$. Our arguments bear on elements of fluctuation theory for spectrally positive additive Lévy fields recently obtained in (Electron. J. Probab. 25 (2020) 26) and an extension of the Lamperti representation in higher dimension proved in (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 53 (2017) 1280–1304).

Un processus de branchement multitype, continu (MCSBP) $\mathrm{Z}={({\mathrm{Z}}_{\mathit{t}})}_{\mathit{t}\ge 0}$, est un processus de Markov à valeurs dans ${[0,\infty )}^{\mathit{d}}$ qui satisfait à la propriété de branchement. Sa loi est caractérisée par son mécanisme de branchement qui est donné par d exposants de Laplace de processus de Lévy spectralement positifs, à valeurs dans ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, chacun d’entre eux possédant $\mathit{d}-1$ coordonnées croissantes. Nous donnons une expression de la probabilité pour un MCSBP de tendre vers 0 à l’infini en terme de son mécanisme de branchement. Nous montrons que cette extinction a lieu en un temps fini si et seulement si une certaine condition portant sur le mécanisme de branchement est satisfaite. Cette condition étend la condition de Grey bien connue en dimension 1. Nos arguments portent sur des éléments de théorie des fluctuations pour les champs de Lévy additifs, spectrallement positifs récemment établis en (Electron. J. Probab. 25 (2020) 26) ainsi qu’une extension de la représentation de Lamperti en dimension supérieure obtenue en (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 53 (2017) 1280–1304).