Limit theorems in Wasserstein distance for empirical measures of diffusion processes on Riemannian manifolds

Abstract

Let $(\mathit{M},\mathit{\rho })$ be a connected compact Riemannian manifold without boundary or with a convex boundary $\partial \mathit{M}$, let $\mathit{V}\in {\mathit{C}}^2(\mathit{M})$ such that $\mathit{\mu }(\mathrm{d}\mathit{x}):={\mathrm{e}}^{\mathit{V}(\mathit{x})}\mathrm{d}\mathit{x}$ is a probability measure, where $\mathrm{d}\mathit{x}$ is the volume measure. Let ${\{{\mathit{\lambda }}_{\mathit{i}}\}}_{\mathit{i}\ge 1}$ be all non-trivial eigenvalues of $-\mathit{L}$ with Neumann boundary condition if $\partial \mathit{M}\ne \varnothing$, where $\mathit{L}:=\mathrm{\Delta }+\nabla \mathit{V}$ for Δ being the Laplace–Beltrami operator on M. Then the empirical measures ${\{{\mathit{\mu }}_{\mathit{t}}\}}_{\mathit{t}>0}$ of the diffusion process generated by L (with reflecting boundary if $\partial \mathit{M}\ne \varnothing$) satisfy

$$\underset{\mathit{t}\to \infty }{lim}\left\{\mathit{t}{\mathbb{E}}^{\mathit{x}}\right[{\mathbb{W}}_2{({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}},\mathit{\mu })}^2\left]\right\}=\sum _{\mathit{i}=1}^{\infty }\frac{2}{{\mathit{\lambda }}_{\mathit{i}}^2}\text{uniformly in}\mathit{x}\in \mathit{M},$$

where ${\mathbb{E}}^{\mathit{x}}$ is the expectation for the diffusion process starting at point x, and ${\mathbb{W}}_2$ is the ${\mathit{L}}^2$-Wasserstein distance induced by the Riemannian metric. The limit is finite if and only if $\mathit{d}\le 3$, and in this case we derive

$$\underset{\mathit{t}\to \infty }{lim}\underset{\mathit{x}\in \mathit{M}}{sup}\left|{\mathbb{P}}^{\mathit{x}}\right(\mathit{t}{\mathbb{W}}_2{({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}},\mathit{\mu })}^2<\mathit{a})-\mathbb{P}(\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }\frac{2{\mathit{\xi }}_{\mathit{k}}^2}{{\mathit{\lambda }}_{\mathit{k}}^2}<\mathit{a}\left)\right|=0,\mathit{a}\ge 0,$$

where ${\{{\mathit{\xi }}_{\mathit{k}}\}}_{\mathit{k}\ge 1}$ are i.i.d. standard Gaussian random variables. Moreover, ${\mathbb{E}}^{\mathit{x}}[{\mathbb{W}}_2{({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}},\mathit{\mu })}^2]\sim {\mathit{t}}^{-\frac{2}{\mathit{d}-2}}$ for $\mathit{d}\ge 5$, and when $\mathit{d}=4$ we have ${\mathbb{E}}^{\mathit{x}}[{\mathbb{W}}_2{({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}},\mathit{\mu })}^2]\le \mathit{c}{\mathit{t}}^{-1}log\mathit{t}$ for some constant $\mathit{c}>0$ and large t while the same type lower bound estimate holds for $\mathit{M}={\mathbb{T}}^4$. Finally, we establish the long-time large deviation principle for ${\{{\mathbb{W}}_2{({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}},\mathit{\mu })}^2\}}_{\mathit{t}\ge 0}$ with a good rate function given by the information with respect to μ.

Soit $(\mathit{M},\mathit{\rho })$ une variété riemannienne compacte connexe sans bord, ou à bord convexe $\partial \mathit{M}$. Soit $\mathit{V}\in {\mathit{C}}^2(\mathit{M})$ tel que $\mathit{\mu }(\mathrm{d}\mathit{x}):={\mathrm{e}}^{\mathit{V}(\mathit{x})}\mathrm{d}\mathit{x}$ est une mesure de probabilité, où $\mathrm{d}\mathit{x}$ est la mesure de volume. Soient ${\{{\mathit{\lambda }}_{\mathit{i}}\}}_{\mathit{i}\ge 1}$ les valeurs propres non triviales de $-\mathit{L}$ avec condition aux limites de Neumann si $\partial \mathit{M}\ne \varnothing$, où $\mathit{L}:=\mathrm{\Delta }+\nabla \mathit{V}$ et Δ est l’opérateur de Laplace–Beltrami sur M. Alors les measures empiriques ${\{{\mathit{\mu }}_{\mathit{t}}\}}_{\mathit{t}>0}$ du processus engendré par L (avec réflexion au bord si $\partial \mathit{M}\ne \varnothing$) vérifient

$$\underset{\mathit{t}\to \infty }{lim}\left\{\mathit{t}{\mathbb{E}}^{\mathit{x}}\right[{\mathbb{W}}_2{({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}},\mathit{\mu })}^2\left]\right\}=\sum _{\mathit{i}=1}^{\infty }\frac{2}{{\mathit{\lambda }}_{\mathit{i}}^2}\text{uniformément en}\mathit{x}\in \mathit{M},$$

où ${\mathbb{E}}^{\mathit{x}}$ est l’espérance par rapport au processus avec condition initiale x et ${\mathbb{W}}_2$ est la distance ${\mathit{L}}^2$-Wasserstein associée à la métrique riemannienne de l’espace. La limite est finie si et seulement si $\mathit{d}\le 3$ et dans ce cas on a

$$\underset{\mathit{t}\to \infty }{lim}\underset{\mathit{x}\in \mathit{M}}{sup}\left|{\mathbb{P}}^{\mathit{x}}\right(\mathit{t}{\mathbb{W}}_2{({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}},\mathit{\mu })}^2<\mathit{a})-\mathbb{P}(\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }\frac{2{\mathit{\xi }}_{\mathit{k}}^2}{{\mathit{\lambda }}_{\mathit{k}}^2}<\mathit{a}\left)\right|=0,\mathit{a}\ge 0,$$

avec ${\{{\mathit{\xi }}_{\mathit{k}}\}}_{\mathit{k}\ge 1}$ une suite de variables i.i.d. gaussiennes standard. De plus, ${\mathbb{E}}^{\mathit{x}}[{\mathbb{W}}_2{({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}},\mathit{\mu })}^2]\sim {\mathit{t}}^{-\frac{2}{\mathit{d}-2}}$ si $\mathit{d}\ge 5$ et ${\mathbb{E}}^{\mathit{x}}[{\mathbb{W}}_2{({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}},\mathit{\mu })}^2]\le \mathit{c}{\mathit{t}}^{-1}log\mathit{t}$ si $\mathit{d}=4$, avec $\mathit{c}>0$ et t suffisamment grand. Des estimations inférieures similaires sont établies si $\mathit{M}={\mathbb{T}}^4$. Pour conclure, nous démontrons un principe de grandes déviations en temps long pour ${\{{\mathbb{W}}_2{({\mathit{\mu }}_{\mathit{t}},\mathit{\mu })}^2\}}_{\mathit{t}\ge 0}$ avec une bonne fonction de taux donnée par l’information par rapport à μ.