Boundary traces of shift-invariant diffusions in half-plane

Abstract

We study boundary traces of shift-invariant diffusions: two-dimensional diffusions in the upper half-plane $ℝ\times [0,\infty )$ (or in $ℝ\times [0,\mathit{R})$) invariant under horizontal translations. We prove that the corresponding trace processes are Lévy processes with completely monotone jumps, and, conversely, every Lévy process with completely monotone jumps is a boundary trace of some shift-invariant diffusion. Up to some natural transformations of space and time, this correspondence is bijective. We also reformulate this result in the language of additive functionals of the Brownian motion in $[0,\infty )$ (or in $[0,\mathit{R})$), and Brownian excursions. Our main tool is the recent extension of Krein’s spectral theory of strings, due to Eckhardt and Kostenko.

Nous étudions les traces marginales de diffusions invariantes par translation : des diffusions bidimensionnelles dans le demi-plan supérieur $ℝ\times [0,\infty )$ (ou dans $ℝ\times [0,\mathit{R})$) invariantes par translation horizontale. Nous prouvons que les processus de trace correspondants sont des processus de Lévy avec des sauts complètement monotones et, réciproquement, tout processus de Lévy avec des sauts complètement monotones est une trace marginale d’une diffusion invariante par translation. Moyennant certaines transformations naturelles de l’espace et du temps, cette correspondance est bijective. Nous reformulons également ce résultat dans le langage des fonctionnelles additives du mouvement brownien dans $[0,\infty )$ (ou dans $[0,\mathit{R})$), et des excursions browniennes. Notre outil principal est la récente extension de la théorie spectrale des cordes de Krein, grâce à Eckhardt et Kostenko.