Pairwise near-maximal grand coupling of Brownian motions

Abstract

The well-known reflection coupling gives a maximal coupling of two one-dimensional Brownian motions with different starting points. Nevertheless, the reflection coupling does not generalize to more than two Brownian motions. In this paper, we construct a coupling of all Brownian motions with all possible starting points (i.e., a grand coupling), such that the coupling for any pair of the coupled processes is close to being maximal, that is, the distribution of the coupling time of the pair approaches that of the maximal coupling as the time tends to 0 or ∞, and the coupling time of the pair is always within a multiplicative factor $2{\mathit{e}}^2$ from the maximal one. We also show that a grand coupling that is pairwise exactly maximal does not exist.

Le couplage par réflexion de deux processus browniens est bien connu et ça donne un couplage maximal si on part de deux points distincts. Néanmoins ce couplage ne s’étend pas à plusieurs points de départ. Ici, nous construisons un couplage de tous les mouvements browniens à partir de tous les points de départ (c’est-à-dire un grand couplage) où le couplage de chaque paire est presque maximal. Plus précisément, la distribution du temps de couplage de chaque paire approche celui du couplage maximal à temps zéro et à l’infini, et le temps du couplage de chaque paire est au plus $2{\mathit{e}}^2$ fois le temps du couplage maximal. Nous démontrons également qu’un grand couplage où le couplage de chaque paire de points de départ est maximal n’existe pas.