Pathwise vs. path-by-path uniqueness

Abstract

We construct a series of stochastic differential equations of the form $\mathit{d}{\mathit{X}}_{\mathit{t}}=\mathit{b}(\mathit{t},{\mathit{X}}_{\mathit{t}})\mathit{d}\mathit{t}+\mathit{d}{\mathit{B}}_{\mathit{t}}$ which exhibit nonuniqueness in the path-by-path sense while having a unique adapted solution in the sense of stochastic processes, i.e. pathwise uniqueness holds.

Nous construisons une série d’équations différentielles stochastiques de la forme $\mathit{d}{\mathit{X}}_{\mathit{t}}=\mathit{b}(\mathit{t},{\mathit{X}}_{\mathit{t}})\mathit{d}\mathit{t}+\mathit{d}{\mathit{B}}_{\mathit{t}}$ qui présentent non-unicité au sens chemin-par-chemin tout en ayant une solution adaptée unique au sens des processus stochastiques.